En una clase de ecuación diferencial, encontrará la solución general agregando la solución homogénea y la solución particular .
Ahora, ¿cómo sabes si habrá resonancia? Si la solución a la ecuación homogénea incluye la función de forzamiento (la misma forma), habrá un término resonante (también conocido como término secular).
En su ejemplo, encontró la solución homogénea (la solución a \ $ q '+ 0.2q + 0.01q = 0 \ $). Eso resultó ser (como lo tienes):
$$ q_h (t) = C_1e ^ {- 0.1t} + C_2te ^ {- 0.1t} $$
A los efectos de este ejemplo, esta solución aún no contiene la solución particular (que ya tiene en su publicación)
Compare la función de forzado, \ $ g (t) = e ^ {- 0.1t} \ cos (10t) \ $, con la solución homogénea. Si tienen la misma forma, entonces tendrás resonancia. Aunque la función de forzado tiene un término \ $ e ^ {- 0.1t} \ $, también se multiplica por una función de coseno (no una constante), por lo que la función de forzado no tiene la misma forma que ninguna de los términos en la solución homogénea, por lo tanto, no hay resonancia en este caso.
Pero observe que la solución homogénea posee los términos \ $ e ^ {- 0.1t} \ $ y \ $ te ^ {- 0.1t} \ $ por sí mismos. Entonces, si hubiera tenido una función de forzamiento \ $ g (t) = e ^ {- 0.1t} \ $ (acabo de quitar el término coseno como ejemplo), ya que esta función de forzado es de la misma forma de uno de los términos en la solución homogénea (hay \ $ e ^ {- 0.1t} \ $ en la solución homogénea), habrá un término resonante. Si encuentra la solución general para este nuevo problema, obtendrá:
$$ q_ {gen} (t) = C_1e ^ {- 0.1t} + C_2te ^ {- 0.1t} + 0.5t ^ 2e ^ {- 0.1t} $$
¿Ver el término con el factor \ $ t ^ 2 \ $? Ese es un término resonante. Eso se debe al hecho de que para la solución particular (que se debe a la señal aplicada), probablemente 'adivine' al principio que tiene la misma forma de la función de forzado (algo como \ $ Ae ^ {- 0.1t } \ $, sería una primera suposición) pero como la solución homogénea incluye una función de la misma forma que la función de forzado, debe agregar un factor \ $ t \ $ (ahora se convierte en \ $ Ate ^ {- 0.1t) \ $, segunda suposición). En este problema en particular, la solución homogénea también incluye un \ $ te ^ {- 0.1t} \ $, lo que significa que usted termina agregando un factor \ $ t \ $ extra para distinguir la solución particular de la homogénea (ahora se convierte en \ $ En ^ 2e ^ {- 0.1t} \ $, tercera conjetura): por eso obtienes un término \ $ t ^ 2 \ $, y la constante 0.5 es lo que encuentras para \ $ A \ $ después de completar el cálculo.
La clave es echar un vistazo a la solución homogénea y eso le dirá qué tipo de función de forzamiento conduce a un comportamiento resonante (tener que agregar los factores \ $ t \ $). Entonces, en su ecuación diferencial, la función de forzamiento (la señal aplicada) no está en resonancia con el sistema porque no está contenida en la ecuación homogénea. Observe que el factor \ $ t \ $ en la solución homogénea proviene de tener una raíz repetida, no tiene que ver con la excitación externa.
Para darle una idea diferente, si en su circuito RLC, \ $ R = 0 \ $, su ecuación diferencial se convierte en:
$$ q '+ 0.01q = g (t) $$
que tendrá una solución homogénea:
$$ q_h (t) = C_1 \ sin (0.1t) + C_2 \ cos (0.1t) $$
Si elige una función de forzado de la forma \ $ \ cos (0.1t) \ $ o \ $ \ sin (0.1t) \ $, terminará con un término resonante para la solución particular ( algo como \ $ t \ sin (0.1t) \ $ o \ $ t \ cos (0.1t) \ $), lo que significa crecientes oscilaciones ... Como en:
(tal vez un terremoto)
Espero que esto dé una idea.