Eliminando la variable de resistencia en la ecuación de resistencia / reactancia total de un circuito RLC en serie

Aquí está la gráfica de la magnitud de la impedancia de un circuito RLC muy común (un capacitor cerámico multicapa con inductancia y resistencia parásitas):

Puede ver que desde DC a aproximadamente 3 MHz, la curva coincide casi idealmente con la reactancia de un capacitor ideal de 1 uF, y desde aproximadamente 30 MHz hasta el punto en el gráfico, casi idealmente coincide con la reactancia de un ideal 300 inductor de pH. Solo en la resonancia cercana, cuando los efectos capacitivos e inductivos casi se cancelan entre sí, el componente resistivo juega un papel importante en la determinación de la magnitud de la impedancia.

Este tipo de comportamiento es bastante común, porque habrá una frecuencia por debajo de la cual el efecto capacitivo es dominante, y habrá alguna frecuencia por encima de la cual el efecto inductivo es dominante, sin importar cuál sea el valor de la resistencia. (Por supuesto, es posible tener una banda mucho más ancha donde domina la resistencia que en este ejemplo, pero siempre habrá límites superiores e inferiores a la banda resistiva)

Tu ecuación: $$ (R ^ 2 + (\ omega L - \ frac {1} {\ omega C}) ^ 2) ^ {\ frac {1} {2}} = 100R $$ tiene la forma de: $$ \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} = | Z | = Z $$ que define la MAGNITUD de Z, donde X es reactancia y R es resistencia. Así que podemos decir que 100R es la magnitud de la impedancia. Observe que la ecuación anterior se parece mucho al teorema de Pitágoras, donde la resistencia está en la dirección horizontal y la reactancia está en la dirección vertical; Forma un triángulo con Z como hipotenusa. Al concentrarse en el LHS, la reactancia (X) toma una variable $$ \ omega $$ que es la frecuencia del circuito, mientras que R, L y C son constantes del circuito y, por lo tanto, no cambian durante la vida útil del circuito. . La implicación anterior: $$ (\ omega L - \ frac {1} {\ omega C}) ^ 2 \ gg R ^ 2 $$ solo está analizando el caso de borde cuando la frecuencia del circuito es masiva. También puede tomar la frecuencia muy cerca de cero y verá que la implicación anterior sigue vigente. Este es solo un método para analizar casos extremos de un circuito.

Por ejemplo, corrija R, L, C y deje que la frecuencia (omega) se haga más y más grande hasta el infinito. El término de inductancia se infla al infinito, los términos de capacitancia van a cero. IF $$ \ omega \ rightarrow \ infty $$ THEN $$ (\ infty L - \ frac {1} {\ infty C}) ^ 2 \ gg R ^ 2 $$ $$ (\ infty L - 0) ^ 2 \ gg R ^ 2 $$ $$ (\ infty L) ^ 2 \ gg R ^ 2 $$ $$ \ infty ^ 2 \ gg R ^ 2 $$ $$ \ infty \ gg R ^ 2 $$ Así que la implicación es cierto: a medida que aumenta la frecuencia, la reactancia será mucho más grande que la resistencia que esencialmente podemos ignorar la resistencia en la ecuación de impedancia.

El otro caso: IF $$ \ omega \ rightarrow 0 $$ THEN $$ (0L - \ frac {1} {0C}) ^ 2 \ gg R ^ 2 $$ $$ (0 - \ frac {1 } {0}) ^ 2 \ gg R ^ 2 $$ $$ (- \ infty) ^ 2 \ gg R ^ 2 $$ $$ \ infty \ gg R ^ 2 $$ De nuevo, la implicación es cierta. Podemos decir con seguridad que a medida que la frecuencia se vuelve pequeña (o grande), la reactancia se vuelve mucho más grande que la resistencia, que la resistencia es un término insignificante en la ecuación de impedancia y, por lo tanto, puede omitirse. Dicho de otra manera: IF $$ X ^ 2 \ gg R ^ 2 $$ LUEGO $$ Z \ approx \ sqrt {X ^ 2} $$

Así que para vincularse con la visualización del triángulo, al hacer que la frecuencia sea masiva o muy pequeña, el triángulo de impedancia comienza a parecer una línea recta vertical. Por lo tanto, $$ X = | Z | $$ $$ \ omega L - \ frac {1} {\ omega C} = \ pm100R $$