Encontrar los coeficientes de la serie de Fourier de la señal $$ 1 + \ sin (\ omega_0 t) + \ cos (\ omega_0 t) + \ cos (2 \ omega_0 t + \ pi / 4) $$

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Me he encontrado con esta pregunta que pide encontrar los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente señal. $$ 1 + \ sin (\ omega_0 t) + \ cos (\ omega_0 t) + \ cos (2 \ omega_0 t + \ pi / 4) $$

En mi intuición, la señal ya se encuentra en forma de serie de Fourier, y la pregunta se refiere simplemente a encontrar los coeficientes trigonométricos de Fourier.

Comencé a descomponer la señal original y reorganizar, lo que da: $$ 1 + \ cos (\ omega_0 t) + \ frac {1} {\ sqrt 2} \ cos (2 \ omega_0 t) + \ sin (\ omega_0 t) - \ frac {1} {\ sqrt 2} \ sin (2 \ omega_0 t) $$

Al calcular el patrón en la señal, el coeficiente del término coseno es siempre 1, mientras que el coeficiente del término sinusoide alterna en signo. Entonces, en términos más generales, $$ 1 + \ sum_ {n = 1} ^ {2} {(\ frac {1} {\ sqrt 2}) ^ {n-1}. \ Cos (n \ omega_0 t) + (- \ frac {1} {\ sqrt 2}) ^ {n-1} \ sin (n \ omega_0 t)} $$

Con una analogía con las series trigonométricas de Fourier, se encuentra que los coeficientes son $$ a_0 = 1, a_n = (\ frac {1} {\ sqrt 2}) ^ {n-1}, b_n = (- \ frac {1} {\ sqrt 2}) ^ {n-1} $$

¿Es esto lo que debo hacer cuando se me pide que encuentre los coeficientes de Fourier? ¿O debería tomar esa señal y luego seguir todo el procedimiento para encontrar a0, an y bn usando la fórmula del coeficiente de Euler?

    
pregunta bikalpa

1 respuesta

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Debido a que, como bien señala, ya está incluido en algo muy parecido a una serie de Fourier, no es necesario realizar todo el procedimiento. Solo reorganice para obtener el formato exacto.

Creo que lo has cocinado en exceso con el patrón de suma. Solo hay tres términos de frecuencia (DC, \ $ \ omega_0 \ $ y \ $ 2 \ omega_0 \ $), por lo que puede enumerarlos individualmente.

Puedes reorganizar tu segunda ecuación de esta manera:

$$ 1 + cos (\ omega_ {0} t) + sin (\ omega_ {0} t) + \ frac {1} {\ sqrt {2}} cos (2 \ omega_ {0} t) - \ frac {1} {\ sqrt {2}} sin (2 \ omega_ {0} t) $$

Y luego lea los coeficientes directamente:

$$ a_0 = 1, a_1 = 1, a_2 = \ frac {1} {\ sqrt {2}}, b_1 = 1, b_2 = - \ frac {1} {\ sqrt {2}} $$

Tenga en cuenta que algunos textos prefieren \ $ f (x) = \ frac {1} {2} a_0 + ... \ $ como su serie de Fourier, en cuyo caso \ $ a_0 = 2 \ $.

    
respondido por el Heath Raftery

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