Transformada de Fourier vs. Transformada de Laplace?

Las diferencias se pueden encontrar en la definición. Una transformada de Fourier:

$$ \ mathcal {F} \ {f (t) \} = F (j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- j \ omega t} f (t) dt $$

Mientras que una transformada de Laplace ordinaria está dada por:

$$ \ mathcal {L} \ {f (t) \} = F (s) = \ int_ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- st } f (t) dt $$

Hay dos diferencias:

1. \ $ j \ omega t \ $ se reemplaza por \ $ st \ $ . \ $ s \ $ puede estar en cualquier lugar del plano llano. En este sentido, la transformada de Fourier puede considerarse en cierto sentido como un subconjunto de la transformada de Laplace.
2. El límite inferior es diferente. Esto complica un poco las cosas.

Las dos transformaciones se vuelven exactamente iguales si

$$ \ mathcal {F} \ {f (t) \} \ stackrel {!} {=} \ left. \ mathcal {L} \ {f (t) \} \ right | _ {s = j \ omega} \ Leftrightarrow f (t < 0) = 0 $$

O en palabras: si \ $ f (t) = 0 \ $ para \ $ t < 0 \ $ , entonces la transformada de Fourier es exactamente la transformada de Laplace siguiendo el eje imaginario, o \ $ s = j \ omega \ $ .

Ambos tienen propiedades muy similares. En particular, para un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) con respuesta de impulso \ $ g (t) \ $ (es decir, no es no lineal y no importa cuando inicie su señal de entrada, la salida seguirá siendo la misma) tiene la propiedad de que

$$ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} u (t) g (t- \ tau) d \ tau = u ( t) * g (t) $$

$$ \ begin {align} Y (j \ omega) & = U (j \ omega) \ cdot G (j \ omega) \\ Y (s) & = U (s) \ cdot G (s) \ end {align} $$

Esta propiedad funciona para cualquier entrada \ $ u (t) \ $ , incluidos aquellos donde \ $ u (t < 0) = 0 \ $ en la transformada de Fourier. Si el sistema \ $ g \ $ ahora también es causal (es decir, el sistema no puede mirar hacia el futuro, que siempre es el para la electrónica analógica), entonces puede garantizar que \ $ y (t < 0) = 0 \ $ , e inmediatamente puede indicar que \ $ G (j \ omega) = \ left.G (s) \ right | _ {s = j \ omega} \ $ .

Entonces, cuando calcula la transformada de Laplace de la respuesta de impulso de un sistema causal LTI , también puede encontrar inmediatamente la transformada de Fourier reemplazando \ $ s \ $ por \ $ j \ omega \ $ .

Ejemplo

Esto puede convertirse en un problema en el siguiente ejemplo. Digamos que tenemos la siguiente función de transferencia (un filtro de paso bajo RC regular):

$$ G (s) = \ frac {1} {1 + RC \ cdot s} $$

Si deseamos conocer el comportamiento transitorio cuando se inicia una onda sinusoidal en \ $ t = 0 \ $ , tendríamos que usar la transformada de Laplace.

$$ U (s) = \ mathcal {L} \ {\ cos (\ omega_0t) \} = \ frac {s} {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2 } $$

$$ \ begin {align} Y (s) & = \ frac {s} {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} \ cdot \ frac {1} {1 + RC \ cdot s} \\ & = \ frac {1} {1 + (\ omega_0RC) ^ 2} \ left (\ frac {s + RC \ omega_0 ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} - \ frac {RC} {1 + RC \ cdot s} \ right) \\ y (t) & = \ frac {1} {1 + (\ omega_0RC) ^ 2} \ left [\ cos (\ omega_0t) + \ omega_0RC \ sin (\ omega_0t) - e ^ {- \ frac {t} {RC}} \ derecha] \ end {align} $$

Sin embargo, si deseamos conocer la solución de estado estable , asumiendo que la entrada siempre ha sido una onda sinusoidal, debemos utilizar la transformada de Fourier. La transformada de Laplace se quedará corta ahora, porque \ $ u (t < 0) \ neq 0 \ $ . Sin embargo, todavía podemos reutilizar la función de transferencia \ $ G (j \ omega) = \ left.G (s) \ right | _ {s = j \ omega} \ $ .

$$ u (t) = \ cos (\ omega_0t) \ Rightarrow U (j \ omega) = \ frac {1} {2} \ left (\ delta (\ omega + \ omega_0) + \ delta (\ omega- \ omega_0) \ right) $$

Esto es un poco molesto de usar, por lo que usaremos phasors :

$$ \ begin {align} \ underline {Y} & = \ underline {U} \ cdot G (j \ omega_0) \\ & = 1 \ cdot \ frac {1} {1 + RC \ cdot j \ omega_0} \\ & = \ frac {1 - j \ omega_0RC} {1 + (\ omega_0RC) ^ 2} \\ y (t) & = \ mathcal {Re} \ left \ {\ left | \ underline {Y} \ right | e ^ {j \ omega_0t + \ angle {\ underline {Y}}} \ right \} \\ & = \ frac {1} {1 + (\ omega_0RC) ^ 2} \ left [\ cos (\ omega_0t) + \ omega_0RC \ sin (\ omega_0t) \ right] \ end {align} $$