Determinar la resistencia de salida de un amplificador BJT

Me dan el siguiente amplificador:

(todoslostransistorestienenlasmismascaracterísticas;sedescuidaelefectoinicial)

Paracalcular \ $ R_ {out} \ $ , reemplazamos el circuito con su equivalente de señal pequeña:

O,equivalentemente,

Enesencia, \ $ R_L \ $ es la carga y \ $ R_ {out} = \ frac {v_ {OC}} {i_ {SC}} \ $ donde \ $ v_ {OC} \ $ el voltaje de circuito abierto (cuando \ $ R_L \ $ ) y \ $ i_ {SC} \ $ la corriente de cortocircuito (cuando \ $ R_L \ $ se reemplaza con un cable). Logré encontrar el voltaje de OC aplicando KVL alrededor del bucle con \ $ R_C, R_2, r _ {\ pi_2} \ $ y el VCCS:

$$ v_ {OC} = g_m V _ {\ pi_2} (R_2 + r _ {\ pi_2} + R_C) - g_m V _ {\ pi_1} R_C $$

Sin embargo, encontrar \ $ i_ {SC} \ $ parece más complicado. En cualquier caso, cada expresión que obtuve para \ $ i_ {SC} \ $ no dio lugar al resultado correcto, que es:

$$ R_ {out} = \ frac {r _ {\ pi_2} + R_2 + R_C} {\ beta + 1} $$

A juzgar por esta respuesta, parece que el término \ $ - g_m V _ {\ pi_1} R_C \ $ en mi expresión para \ $ v_ {OC} \ $ es redundante (ninguna expresión para \ $ i_ {SC} \ $ puede eliminar este término que aparece en el numerador). Sin embargo, ignorar la corriente que fluye en el recopilador de \ $ Q_1 \ $ me parece mal.

¿Alguna sugerencia?