Enlace entre la respuesta de estado cero y la solución particular para una entrada exponencial eterna

No creo que haya ningún problema con la notación utilizada por el autor. Solo quería expresar lo siguiente (\ $ x \ $ input, \ $ y \ $ output - la respuesta a una función propia \ $ e ^ {st} \ $):

$$ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty h (\ tau) x (t- \ tau) d \ tau $$ $$ = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty h (\ tau) e ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $$ $$ = e ^ {st} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $$

Por lo tanto, la respuesta a \ $ e ^ {st} \ $ es de la forma

$$ y (t) = H (s) e ^ {st} $$

donde \ $ H (s) \ $ es una constante compleja cuyo valor depende de \ $ s \ $ y que está relacionado con la respuesta de impulso por

$$ H (s) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $$

No hay frecuencia de tiempo de conflicto x aquí.

También, tenga en cuenta:

Si \ $ \ lambda \ $ es un polo de \ $ H (s) \ $, el modo \ $ e ^ {{\ lambda} t} \ $ se puede generar en la salida por un estado inicial sin el Aplicación de cualquier entrada. Si \ $ \ lambda \ $ no es un polo de \ $ H (s) \ $, esto no es posible. En este caso, la única manera de generar \ $ e ^ {{\ lambda} t} \ $ en la salida es aplicar \ $ e ^ {{\ lambda} t} \ $ en la entrada. Por otro lado, si la entrada \ $ x (t) \ $ tiene la forma \ $ e ^ {{\ lambda} t} \ $, donde \ $ \ lambda \ $ no es un polo de \ $ H (s ) \ $, luego la salida debida a la entrada \ $ x (t) = e ^ {{\ lambda} t} \ $ es igual a \ $ y (t) = H (\ lambda) e ^ {{\ lambda} t} \ $.

Espero haber entendido lo que preguntaste correctamente. Puede hacer que la convolución sea innecesaria transformando \ $ e ^ {st} \ $ al dominio de Laplace y luego haciendo una simple multiplicación. Consulte theroem de convolución.

Le sugeriría que use \ $ e ^ {kt} \ $ o algo así, para no mezclarlo con la variable compleja \ $ s \ $. Por lo tanto, la respuesta sería \ $ H (s) \ mathfrak {L} \ {e ^ {kt} \} \ $ lo que es \ $ H (s) \ frac {1} {s-k} \ $.