¿Transformada de Fourier de una función de rampa?

No dices lo que quieres decir con una "función de rampa", así que solo te mostraré cómo pictivamente, analíticamente puedes obtener la función que necesitas.

recuerda que la multiplicación en el dominio del tiempo es lo mismo que la convolución en el dominio de la frecuencia y lo contrario también es cierto. Convolving en el dominio de tiempo es lo mismo que multiplicar en el dominio de frecuencia.

Conozco las relaciones entre varias formas en los dominios de tiempo y frecuencia. Una que elegí es la función rect (rectángulo) que tiene una función de frecuencia sinc (f).

Luego pienso en cómo generar una función de rampa que aumente y luego disminuya.

Aquí se muestran dos funciones correctas, una roja y otra negra (para facilitar la comprensión). La figura 1 es antes de que intercepten. 2 es cuando comienzan a interceptar (con el rectángulo negro como el área de solapamiento) 3 está en la superposición máxima (el área negra es máxima) 4. es cuando la superposición está disminuyendo a medida que el rojo pasa a través del rectángulo negro y 5. es cuando se acabó.

La Figura 6 muestra el resultado de esta convolución con una rampa hacia arriba y luego hacia abajo.

Ahora la parte divertida.

Una convolución de dos funciones rect en el dominio del tiempo es una multiplicación en el dominio de la frecuencia. Dado que los dos rect son iguales, simplemente obtenemos \ $ sinc ^ 2 \ $ en el dominio de frecuencia.

Lo dejo a usted para que complete los detalles de los pasos matemáticos reales. La combinación y el uso de funciones fundamentales es la información clave que necesita.

Cualquier función periódica tiene una transformada de Fourier. Aunque la integral de Fourier no converge en el sentido convencional, se puede interpretar en términos de la Distribución delta de Dirac . Un par de transformación muy importante es el siguiente:

$$ e ^ {j \ omega_0} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ omega- \ omega_0) \ tag {1} $$

donde \ $ \ delta (\ omega) \ $ es el impulso delta de Dirac. Usando (1) la transformación de Fourier de cualquier función periódica \ $ f (t) = f (t + T) \ $ se puede obtener directamente de su serie de Fourier:

$$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ke ^ {2 \ pi j kt / T} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_k \ delta (\ omega-2 \ pi k / T) $$

donde \ $ c_k \ $ son los complejos coeficientes de Fourier de \ $ f (t) \ $.

Todas las funciones que mencionó en su pregunta tienen una transformada de Fourier que contiene los impulsos delta de Dirac (consulte relaciones de transformación de Fourier con distribuciones ).

Las señales periódicas, como una función sinusal, pueden representarse en el dominio de la frecuencia expandiéndola a su serie de Fourier , por lo que no debe preocuparse por la transformada de Fourier.

Este último se define para señales aperiódicas. La idea básica detrás de la transformada de Fourier es que una señal aperiódica puede representarse como una señal periódica con un tiempo periódico que se aproxima al infinito. Como usted dijo, solo es aplicable para señales con energía finita, más formalmente, para cada \ $ x (t) \ $, para lo cual $$ \ int _ {- ∞} ^ {∞} | x (t) | ^ 2 dt < ∞ $$

Las funciones con energía no finita pueden tener sus transformadas de Fourier, pero en la mayoría de los casos tendrás que usar algún tipo de "truco" matemático. Consulte este documento sobre la transformada de Fourier de un paso de unidad: enlace

Sin embargo, puede utilizar la transformada de Laplace unilateral para cualquier otra cosa, pero tenga cuidado, ya que ignorará todo lo que suceda antes de \ $ t = 0 \ $.

Y, por último, no es necesario transformar una señal de CC, ya que está claro que solo tiene un componente de 0 Hz en el dominio de la frecuencia.

Si estás hablando de una rampa (y = 0, t < 0; y = t, t > = 0), en oposición a algún tipo de onda periódica de diente de sierra, piensa en la rampa como la integral de un paso función.

La forma de Fourier de la función de paso es (1 / jw). La forma X de la integral de x (t) es (1 / jw) X (jw). Cuando aplica estas dos reglas, la Transformada de Fourier de la rampa es (1 / jw) ^ 2