Encontrar una DTFT de una señal

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Estoy tratando de averiguar cuál es la DTFT de \ $ (-1) ^ nx [n] \ $. (Me dieron la DTFT de \ $ x [n] \ $)

Así que intenté esto, pero no puedo averiguar cómo proceder desde aquí, si esto es correcto. Cualquier ayuda y consejo sería apreciado!

\ $ F_ {DTFT} \ {(-1) ^ nx [n] \} = \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty (-1) ^ nx [n] e ^ {- i \ theta n} \ $

\ $ = \ sum \ limits_ {even \ space n's} x [n] e ^ {- i \ theta n} - \ sum \ limits_ {odd \ space n's} x [n] e ^ {- i \ theta n} = \ $

\ $ = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [2k] e ^ {- i \ theta 2k} - \ sum \ limits_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x [2m + 1] e ^ {- i \ theta (2m + 1)} =? \ $

¡Gracias!

    
pregunta Ana M

2 respuestas

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Ten en cuenta que \ $ (- 1) ^ n = e ^ {i \ pi n} \ $, para que obtengas

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] (- 1) ^ ne ^ {- in \ theta} = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] e ^ {i \ pi n} e ^ {- en \ theta} = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- in (\ theta- \ pi)} = X (\ theta- \ pi) $$

El espectro simplemente se desplaza en \ $ \ pi \ $. Esto es básicamente una consecuencia de la propiedad de modulación.

    
respondido por el Matt L.
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Otro intento, según el consejo de The Photon's:

\ $ F_ {DTFT} \ {(-1) ^ n \} = \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ ne ^ {- i \ theta n} \ $

\ $ = \ sum \ limits_ {even \ space n's} e ^ {- i \ theta n} - \ sum \ limits_ {odd \ space n's} e ^ {- i \ theta n} \ $

\ $ = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ theta 2k} - \ sum \ limits_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {-i \ theta (2m + 1)} \ $

\ $ = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ theta 2k} - e ^ {- i \ theta} \ sum \ limits_ {m = - \ infty } ^ {\ infty} e ^ {- i \ theta 2m} \ $

Viendo la suma \ $ \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ theta 2k} \ $:

\ $ \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ theta 2k} = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {0} e ^ {- i \ theta 2k} + \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {\ infty} e ^ {- i \ theta 2k} -1 \ $

\ $ = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {\ infty} e ^ {i \ theta 2k} + \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {\ infty} e ^ {- i \ theta 2k} -1 \ $

\ $ = \ frac {1} {1-e ^ {- i 2 \ theta}} + \ frac {1} {1-e ^ {i 2 \ theta}} - 1 \ $

Entonces:

\ $ F_ {DTFT} \ {(-1) ^ n \} = ... = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ theta 2k} - e ^ {- i \ theta} \ sum \ limits_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ theta 2m} \ $

\ $ F_ {DTFT} \ {(-1) ^ n \} = ... = (\ frac {1} {1-e ^ {- i 2 \ theta}} + \ frac {1} { 1-e ^ {i 2 \ theta}} - 1) - e ^ {- i \ theta} (\ frac {1} {1-e ^ {- i 2 \ theta}} + \ frac {1} {1 -e ^ {i 2 \ theta}} - 1) \ $

Y luego de alguna manera convoluyo este resultado con \ $ X (\ theta) \ $?

    
respondido por el Ana M

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