Por lo que recuerdo, 1080p requiere una frecuencia de reloj de 139MHz [1] . Buena suerte al conseguirlo con un arduino o cualquier mcu estándar, sin mencionar los problemas de integridad de la señal si no se diseña correctamente.
Un Beaglebone puede estar a la altura de la tarea, no tengo experiencia con ellos, pero es probable que estés buscando más en el software de tuberías a través de HDMI. Esto es lo mismo que usar una Raspberry Pi u otras cosas relacionadas con la PC, donde la programación probablemente será más fácil que escribir el firmware específico de mcu para hacer esto.
Si quieres un desafío, puedes intentar usar un FPGA en un devboard, por ejemplo, el ZedBoard [2] . Sin embargo, esta es una forma más costosa (tanto en tiempo como en dinero) de hacerlo.
¡Buena suerte, lo que sea que termines haciendo! :)