Encontrar la función de transferencia desde la salida

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Si aplico una entrada de pasos unitarios a un sistema lineal y obtengo lo siguiente como resultado:

$$ (1-e ^ {- 4t}) u (t) $$

significa que la función de transferencia es entonces:

$$ T (t) = (1-e ^ {- 4t}) $$

Mi amigo parece pensar que sí, pero no estoy de acuerdo. Procedí de otra manera para encontrar la función de transferencia.

$$ Laplace ((1-e ^ {- 4t}) u (t)) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + 4} = (\ frac {1} { s}) \ frac {4} {s + 4} $$

Luego puedo sacar la entrada del paso de la unidad (1 / s) para obtener la función de transferencia, de modo que:

$$ T (s) = \ frac {4} {s + 4} $$

$$ T (t) = 4e ^ {- 4t} $$

¿Cuál de nosotros es correcto?

    
pregunta codedude

3 respuestas

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La respuesta de impulso \ $ h (t) \ $ es la derivada temporal de la respuesta de paso. Por lo tanto, para la respuesta paso a paso

$$ h (t) = \ frac {d} {dt} S (t) = 4e ^ {- 4t} u (t) + (1 - e ^ {- 4t}) \ delta (t) = 4e ^ {- 4t} u (t) $$

Luego, la función de transferencia \ $ H (s) \ $ es la transformación de la respuesta de impulso que es como derivó alternativamente,

$$ H (s) = \ frac {4} {s + 4} $$

Finalmente tenemos

$$ y (t) = h (t) \ star x (t) = \ int_0 ^ th (\ tau) x (t - \ tau) d \ tau = \ int_0 ^ tx (\ tau) h ( t - \ tau) d \ tau $$

y

$$ Y (s) = H (s) X (s) $$

    
respondido por el Alfred Centauri
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Lo importante a tener en cuenta aquí son las siguientes dos afirmaciones:

$$ Y (s) = H (s) X (s) $$

$$ y (t) \ neq h (t) x (t) $$

donde y es la salida, h es la función de transferencia y x es la entrada aplicada.

    
respondido por el codedude
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Tienes razón.

Una forma de confirmar su intuición es que la respuesta al paso muestre una constante de tiempo única (es decir, un polo) \ $ \ tau = -4 \ $ y un estado estable de \ $ y (\ infty) = 1 \ $ . Incluso sin pasar por los cálculos, puedes argumentar

$$ T (s) = \ frac {4} {s + 4}. $$

De todos modos, la respuesta de su amigo es errónea, no solo por los parámetros o la forma elegidos, sino por el uso que hace de ella. Lo que define una respuesta de entrada de un sistema en el dominio del tiempo es el resultado de un producto de convolución, no de un producto escalar:

$$ y (t) = T (t) \ star u (t) = \ int_0 ^ tT (\ tau) \ cdot u (t- \ tau) dt \ neq T (t) \ cdot u (t ) $$

Lo que \ $ u (t) \ $ le hace al sistema a la vez \ $ t = t_x \ $ tiene un impacto en \ $ y (t) \ $ (teóricamente) para siempre. En una multiplicación escalar simplemente no tienes eso. Obviamente, el tipo de multiplicación utilizado no es el resultado de un diseño. Se deriva matemáticamente. Pero este es un argumento simple para demostrarle a tu amigo que no puede estar en lo correcto.

La razón principal por la que la transformada de Laplace es tan popular es precisamente porque la transformada de Laplace de un producto de convolución es una simple producto :

$$ L [T (t) \ star u (t)] = T (s) U (s). $$

Hace que las representaciones sean más fáciles de tratar y más elegantes.

    
respondido por el raggot

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