Encontrar la función del sistema de un filtro digital

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Estoy estudiando para los exámenes y necesito ayuda con una pregunta que encontré en un libro de texto.

Dado un filtro digital $$ y_n = a (x_ {n-1} + x_ {n + 1}) + bx_n $$ encuentre la función del sistema de este filtro y la ubicación de sus polos y ceros.

Esto es lo que he hecho para encontrar la función del sistema: $$ Y (z) = a (X (z) z ^ {- 1} + X (z) z) + bX (z) $$ $$ H (z) = Y (z) / X (x) $$ así que $$ H (z) = a (z ^ {- 1} + z) + b $$

Debido a que el denominador es uno, el polo debe estar en el origen, pero ¿cómo encuentro los ceros? ¿Y mi solución para la función del sistema es correcta?

La ayuda es muy apreciada, gracias.

    
pregunta ASm

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En realidad, el denominador es no uno. Piense en el término \ $ z ^ {- 1} = \ frac {1} {z} \ $. Dado esto, tenemos que reinterpretar \ $ H (z) \ $:

$$ H (z) = a \ left (\ frac {1} {z} + z \ right) + b = a \ left (\ frac {1 + z ^ 2} {z} \ right) + b \ frac {z} {z} $$

Ahora que todos estos términos tienen un denominador común, hemos encontrado una función de transferencia bien formada:

$$ H (z) = \ frac {az ^ 2 + bz + a} {z} $$

Desde aquí podemos encontrar los polos estableciendo el denominador en cero, vemos rápidamente que el polo está en el origen (\ $ z = 0 \ $). (Por cierto, un denominador de 1 no significa que haya un polo en el origen, ¡significa que no hay polos!) Para encontrar los ceros, establecemos el numerador en cero y resolvemos para \ $ z \ $.

$$ az ^ 2 + bz + a = 0 $$

El uso de la ecuación cuadrática da los ceros como:

$$ z_ {1,2} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4a ^ 2}} {2a} $$

    
respondido por el Paul Stiverson

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