Transformada de Fourier usando una tabla de pares

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Estoy tratando de encontrar la Transformada de Fourier de: $$ t ^ 2e ^ {- 2t} u (t) $$ Sé que de la tabla de pares de FT, $$ FT (te ^ {- 2t}) = \ frac {1} {(2 + jw) ^ 2} $$ Entonces asumo que podemos usar la propiedad de multiplicación y hacer $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (FT (t) * \ frac {1} {(2 + jw) ^ 2} \ right) $$ Sin embargo, cuando intento eso, no obtengo la respuesta correcta, que debería ser $$ \ frac {2} {(2 + jw) ^ 3} $$ ¿Me estoy perdiendo algún tipo de truco que puedo aplicar aquí?

    
pregunta Ryan McClure

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Aquí podemos usar la propiedad que indica que $$ \ operatorname {FT} (t ^ nf (t)) = j ^ n \ frac {d ^ n} {dw ^ n} \ operatorname {FT} (f ( t)) $$

En nuestro caso \ $ n = 2, f (t) = e ^ {- 2t} u (t) \ $. Entonces \ $ \ operatorname {FT} (f (t)) = \ frac {1} {2 + j \ omega} \ $. La segunda derivada de él sería \ $ \ frac {2j ^ 2} {(j \ omega + 2) ^ 3} = \ frac {-2} {(j \ omega + 2) ^ 3} \ $, y yo Te lo dejaré para que lo calcules. Multiplicándolo por \ $ j ^ n = -1 \ $, dándonos \ $ \ frac {2} {(j \ omega + 2) ^ 3} \ $ como se esperaba.

    
respondido por el Eugene Sh.

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