Uso de la notación de fasor (Steinmetz ') con valores máximos (no RMS):
\ $ V = 250 \ ángulo {45 °} \ $
\ $ I = 4 \ ángulo {-30 °} \ $
El poder complejo es \ $ S = \ dfrac {1} {2} \; V \ cdot I ^ {*} \ $ donde asterisco significa "conjugado complejo", una operación que invierte el signo de la fase. Por lo tanto:
\ $ S = \ dfrac {1} {2} \; (250 \ angle {45 °}) \ cdot (4 \ angle {-30 °}) ^ {*} = \ dfrac {1} {2} \; (250 \ angle {45 °}) \ cdot (4 \ angle {30 °}) = 500 \ angle {75 °} \ $
Análogamente para el segundo ejemplo:
\ $ S = \ dfrac {1} {2} \; (18 \ angle {-30 °}) \ cdot (5 \ angle {-75 °}) ^ {*} = \ dfrac {1} {2} \; (18 \ ángulo {-30 °}) \ cdot (5 \ ángulo {75 °}) = 45 \ ángulo {45 °} \ $
Así que efectivamente parece que hay una incoherencia en alguna parte. Tal vez un error tipográfico? En el segundo caso, si V tuviera una fase de + 30 °, los resultados coincidirían.
EDIT
Solo para incorporar y expandir un poco de teoría, expliqué en un comentario al OP.
Consideremos una carga lineal impulsada por una corriente sinusoidal \ $ i (t) \ $ y que tiene el voltaje \ $ v (t) \ $ en sus terminales; Debido a la linealidad de la carga, el voltaje también es sinusoidal:
\ begin {align *}
v (t) & = V_m \; \ cos (\ omega t + \ phi_V)
& & \ Leftrightarrow
&erio; V & = V_m \, \ angle \ phi_V = V_m \, e ^ {j \ phi_V} \\
i (t) & = I_m \; \ cos (\ omega t + \ phi_I)
& & \ Leftrightarrow
&erio; I & = I_m \, \ angle \ phi_I = I_m \, e ^ {j \ phi_I} \\
\ end {align *}
Suponiendo que las direcciones de i y v están asociadas, la potencia instantánea absorbida por la carga es:
\ begin {align *}
p (t) & = v (t) \ cdot i (t)
= V_m \; \ cos (\ omega t + \ phi_V) \ cdot I_m \; \ cos (\ omega t + \ phi_I) = \\ [1em]
& = \ dfrac {1} {2} \, V_m \, I_m \;
\izquierda[{
\ cos (2 \ omega t + \ phi_V + \ phi_I) + \ cos (\ phi_V - \ phi_I)
}\Correcto]
\ end {align *}
donde la fórmula trigonométrica
\ $ \ quad \ cos (a) \ cos (b) = \ dfrac {1} {2} [cos (a + b) + cos (a-b)] \ quad \ $
fue utilizado.
La potencia promedio \ $ P \ $, dado que \ $ p (t) \ $ es periódica, puede calcularse promediando en un solo período, por lo tanto:
\ begin {align *}
P & = \ dfrac {1} {T} \ int_0 ^ T {p (t)} \, dt
= \ dfrac {1} {T} \ int_0 ^ T \ dfrac {1} {2} \, V_m \, I_m \;
\izquierda[{
\ cos (2 \ omega t + \ phi_V + \ phi_I) + \ cos (\ phi_V - \ phi_I)
} \ right] \, dt = \\ [1em]
& = \ dfrac {1} {T} \ int_0 ^ T \ dfrac {V_m \, I_m} {2} \ cos (2 \ omega t + \ phi_V + \ phi_I) \, dt
+ \ dfrac {1} {T} \ int_0 ^ T \ dfrac {V_m \, I_m} {2} \ cos (\ phi_V - \ phi_I) \, dt
\ end {align *}
La primera integral es cero, porque es la integral de una función sinusoidal durante su período, mientras que la segunda integral es el promedio de una constante, por lo que es esa constante. Por lo tanto la potencia media se convierte en:
\ begin {align *}
P = \ dfrac {V_m \, I_m} {2} \ cos (\ phi_V - \ phi_I) = \ dfrac {V_m \, I_m} {2} \ cos \ phi
\ end {align *}
donde \ $ \ phi = \ phi_V - \ phi_I \ $ es la diferencia de fase entre el voltaje y la corriente.
Sin ingresar más detalles, la potencia promedio también se denomina potencia activa , mientras que la potencia reactiva se define como:
\ begin {align *}
Q = \ dfrac {V_m \, I_m} {2} \ sin \ phi
\ end {align *}
Por otro lado, si definimos la potencia S compleja como:
\ begin {align *}
S = \ dfrac {1} {2} \, V \ cdot I ^ {*}
\ end {align *}
obtenemos:
\ begin {align *}
S & = \ dfrac {1} {2} \, V_m \, e ^ {j \ phi_V} \ cdot (I_m \, e ^ {j \ phi_I}) ^ {*}
= \ dfrac {1} {2} \, V_m \, e ^ {j \ phi_V} \ cdot I_m \, e ^ {- j \ phi_I}
= \ dfrac {V_m \, I_m} {2} \, e ^ {j (\ phi_V - \ phi_I)}
= \ dfrac {V_m \, I_m} {2} \, e ^ {j \ phi} = \\ [1em]
& = \ dfrac {V_m \, I_m} {2} \ cos \ phi + j \, \ dfrac {V_m \, I_m} {2} \ sin \ phi
= P + j \, Q
\ end {align *}
Por lo tanto, es fácil ver por qué P y Q son, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria de S.