He estado buscando por todas partes las derivaciones de la expresión para la ganancia de modo diferencial de un simple amplificador diferencial de amplificador operacional simple. Una cosa que he encontrado muy interesante es que cada derivación usa el principio de superposición para encontrar la ganancia de modo diferencial. ¿Es esta la única manera de calcularlo? Y si es así, ¿por qué?
Aquí hay una derivación de ejemplo que he visto: enlace
Ciertamente, puedes encontrarlo sin utilizar el principio de superposición.
Si este es tu opamp como amplificador diferencial:
Siempre puedes utilizar la siguiente ecuación para el voltaje de salida:
$$ V_o = A (V ^ + - V ^ -) $$
Donde \ $ A \ $ es la ganancia de bucle abierto (para un opamp ideal \ $ A \ rightarrow \ infty \ $).
Ahora necesita encontrar \ $ V ^ - \ $ y \ $ V ^ + \ $ para conectarlos en la ecuación anterior y encontrar una ecuación para el voltaje de salida.
Recuerde que, para una opamp ideal, la corriente de entrada es cero, por lo tanto, para \ $ V ^ + \ $:
$$ V ^ + = \ frac {R_4} {R_3 + R_4} V_1 $$
Para \ $ V ^ - \ $,
$$ V ^ - = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} V_2 + \ frac {R_1} {R_1 + R_2} V_o $$
Ahora puede conectarlos a la \ $ V_o = A (V ^ + - V ^ -) \ $ ecuación:
$$ V_o = A \ bigg (\ frac {R_4} {R_3 + R_4} V_1- \ frac {R_2} {R_1 + R_2} V_2- \ frac {R_1} {R_1 + R_2} V_o \ bigg) $ $
$$ V_o \ bigg (1 + A \ frac {R_1} {R_1 + R_2} \ bigg) = A \ bigg (\ frac {R_4} {R_3 + R_4} V_1- \ frac {R_2} {R_1 + R_2} V_2 \ bigg) $$
$$ V_o \ bigg (\ frac {R_1 + R_2 + AR_1} {R_1 + R_2} \ bigg) = A \ bigg (\ frac {R_4} {R_3 + R_4} V_1- \ frac {R_2} {R_1 + R_2} V_2 \ bigg) $$
$$ V_o = A \ bigg (\ frac {R_1 + R_2} {R_1 + R_2 + AR_1} \ bigg) \ bigg (\ frac {R_4} {R_3 + R_4} V_1- \ frac {R_2} {R_1 + R_2} V_2 \ bigg) $$
$$ V_o = \ frac {A} {A} \ bigg (\ frac {R_1 + R_2} {\ frac {R_1 + R_2} {A} + R_1} \ bigg) \ bigg (\ frac {R_4} {R_3 + R_4} V_1- \ frac {R_2} {R_1 + R_2} V_2 \ bigg) $$
$$ V_o = \ bigg (\ frac {R_1 + R_2} {\ frac {R_1 + R_2} {A} + R_1} \ bigg) \ bigg (\ frac {R_4} {R_3 + R_4} V_1- frac {R_2} {R_1 + R_2} V_2 \ bigg) $$
Recuerde que para una operación ideal \ $ A \ rightarrow \ infty \ $, entonces \ $ \ frac {R_1 + R_2} {A} \ rightarrow0 \ $
$$ V_o \ approx \ bigg (\ frac {R_1 + R_2} {R_1} \ bigg) \ bigg (\ frac {R_4} {R_3 + R_4} V_1- \ frac {R_2} {R_1 + R_2} V_2 \ bigg) $$
Y finalmente,
$$ V_o \ approx \ bigg (\ frac {R_1 + R_2} {R_1} \ bigg) \ bigg (\ frac {R_4} {R_3 + R_4} \ bigg) V_1- \ bigg (\ frac {R_2} {R_1} \ bigg) V_2 $$
Desde allí puede expresarlo en términos de la entrada diferencial, \ $ V_d \ $, y el modo común, \ $ V_ {cm} \ $, tal como lo hacen en el enlace que proporcionó.
EDITAR: Buscar \ $ V ^ - \ $
Hay varias maneras de encontrar esto. Probemos KCL:
Ahora, puedes decir, para el nodo en \ $ V ^ - \ $:
$$ I_1 + I_2 = 0 $$ $$ \ frac {V_2-V ^ -} {R_1} + \ frac {V_o-V ^ -} {R_2} = 0 $$
Eso es solo KCL. Puedes resolver esto para \ $ V ^ - \ $: $$ \ frac {V_2} {R_1} - \ frac {V ^ -} {R_1} + \ frac {V_o} {R_2} - \ frac {V ^ -} {R_2} = 0 $$
$$ \ frac {V_2} {R_1} + \ frac {V_o} {R_2} = V ^ - \ bigg (\ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} \ bigg) $ PS $$ \ frac {V_2} {R_1} + \ frac {V_o} {R_2} = V ^ - \ bigg (\ frac {R_1 + R_2} {R_1R_2} \ bigg) $$
Lo que lleva a:
$$ V ^ - = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} V_2 + \ frac {R_1} {R_1 + R_2} V_o $$
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