Retraso y estabilidad en sistemas de retroalimentación negativa: Confusión-2

Usando su sistema como ejemplo, es interesante considerar lo que sucede durante los primeros 10 segundos, aproximadamente, siguiendo la aplicación de un paso de unidad en la entrada del sistema (esto puede convencerlo de que es mucho más fácil basar un análisis de estabilidad en el circuito abierto!)

\ $ \ small 0 < t < 5 \ $: La salida de la demora es cero; la señal de error es la unidad, por lo tanto, la salida del sistema es una rampa de unidad (integral de paso = rampa). Por lo tanto, la salida alcanza 5 en t = 5.

\ $ \ small t = 5 \ $: la rampa de la unidad comienza a surgir de la demora

\ $ \ small 5 < t < 6 \ $: La rampa de la unidad resta del paso de la unidad, por lo tanto, la señal de error desciende desde 1 y llega a cero en t = 6. Como la entrada del integrador ahora se está desplazando hacia abajo, la salida del integrador ya no es una rampa, es una parábola, que se desvía gradualmente de la rampa original (la integral de una rampa es una parábola). La salida del integrador alcanza 5.5 en t = 6.

\ $ \ small 6 < t < 10 \ $: La señal de error ahora es negativa, y sigue siendo una rampa que va en negativo con una pendiente de -1. La salida del integrador disminuye parabólicamente de 5.5, alcanzando -2.5 en t = 10.

\ $ \ small t > 10 \ $: Las secciones parabólicas de la salida del integrador ahora comienzan a surgir de la demora y se sustraen de la entrada de pasos de la unidad. Tenga en cuenta que, cuando la señal de salida de retardo se vuelve negativa, la señal de error será > 1 y la señal de salida del integrador excederá la rampa anterior en magnitud. El sistema es inestable.

La elección de un tiempo de retardo más pequeño (o la aplicación de una ganancia de integrador fraccional) hará que el sistema sea estable (pruébelo, ¡si tiene un día impar de sobra!)

Por el contrario, si el retraso se reemplaza por un retraso de primer orden, la ruta de retroalimentación es mucho menos agresiva. La salida del retraso comienza a crecer exponencialmente desde t = 0 y comienza a reducir la señal de error inmediatamente. Esto significa que la señal de error cae exponencialmente, desde t = 0, y la salida del sistema crece de manera mucho más pausada. El peor de los casos es cuando el retraso es reemplazado por un integrador, dando lugar a un sistema de segundo orden con cero amortiguamiento y una respuesta oscilatoria. Esta es una estabilidad crítica, y las cosas no pueden empeorar desde una perspectiva de estabilidad. Por lo tanto, el sistema de segundo orden con polos en el plano s de LH no puede ser inestable. En términos de componentes eléctricos, es un circuito LC sin ninguna R.

Sarthak, con respecto a la primera pregunta, mi respuesta es: Sí, en principio, su descripción es correcta. Se puede mostrar que, como ejemplo, para un integrador de unidad H (s) = 1 / s, el límite de estabilidad se encuentra en una función de demora de exp (-s * 1.57). Para valores más grandes (más pequeños) de tiempo de retardo T = Pi / 2 = 1.57 seg, el circuito muestra amplitudes crecientes (decrecientes).

En el caso de un bloque RC con una constante de tiempo muy grande, el voltaje de error al principio es bastante grande (como usted mencionó) y la salida del integrador aumentará (teóricamente) a voltajes muy altos. Esto se debe a que solo hay un efecto de retroalimentación muy pequeño. Por lo tanto, cada circuito real llegará a los límites establecidos por la tensión de alimentación. Pero esto no significa que un circuito ideal (sin límites de suministro) sería inestable.

Debido a la gran constante de tiempo de la sección RC, la gran tensión de error se reduce muy lentamente (carga del condensador) y el transitorio resultante tiene un período muy grande. Pero el cambio de tiempo entre ambas señales nunca alcanza el valor crítico que causa el aumento de la oscilación. Cuando se acerca cada vez más a este valor crítico, la creciente cantidad de realimentación, al mismo tiempo, reduce la tensión de error.

Como resultado, el circuito siempre es estable. Como mencioné en mi respuesta a su pregunta anterior, tales análisis de estabilidad son más fáciles de entender en el dominio de la frecuencia.

Una salida de integrador tiene un cambio de fase de 90 grados a cualquier entrada de onda sinusoidal. Si esa salida se envía a la entrada (a través de un RC), el criterio que determina la oscilación es que debe haber un desplazamiento de fase general de 180 grados.

En pocas palabras, una red RC no puede producir esos 90 grados adicionales hasta que la frecuencia de entrada sea infinita. Esto significa que el circuito puede excederse pero no se volverá inestable.