Estoy trabajando con una gran red de resistencias. Aquí ilustraré mi pregunta con una versión reducida (5 resistencias).
El flujo de corriente a través de cada una de las 5 resistencias está completamente determinado por los potenciales en cada uno de los 6 nodos, o 5 nodos si conecto uno.
Me gustaría especificar un conjunto de corrientes \ $ [i_1, i_2, i_3, i_4, i_5] \ $ y calcular los voltajes requeridos \ $ [v_1, v_2, v_3, v_4, v_5] \ $ que generan estos corrientes Como tengo cinco voltajes de nodo independientes, puedo encontrar una combinación de voltajes que genere cualquier combinación deseada de cinco corrientes. Me siento cómodo con esta parte.
Me interesa el caso en el que quiera generar un conjunto de corrientes \ $ [i_1 ... i_5] \ $, pero solo puedo establecer algunos de los voltajes de los nodos, por ejemplo, \ $ v_1, v_4 , \ $ y \ $ v_5 \ $. Los otros voltajes (es decir, \ $ v_2 \ $ y \ $ v_3 \ $) están determinados por los voltajes aplicados y la disposición de las resistencias.
Como ahora solo tengo tres fuentes de voltaje independientes, no puedo generar ninguna combinación arbitraria de cinco corrientes, solo será posible un subconjunto.
Tengo tres preguntas:
(1) ¿Cómo puedo determinar si mi combinación deseada de corrientes es posible?
(2) Si esta combinación de corrientes es posible, ¿cómo calculo la combinación de voltajes que necesito aplicar a \ $ v_1, v_4, v_5 \ $?
(3) Si la combinación de corrientes no es posible, ¿qué es lo más cercano que puedo acercarme, quizás en un sentido de mínimos cuadrados (o alguna otra medida relevante)?