Tasa de generación
En un semiconductor intrínseco, la tasa de generación debida a la energía térmica se da a menudo como $$ G_ {th} \ propto \ exp \ left (- \ frac {E_G} {k \ cdot T} \ right), \ tag {1} \ label {1} $$ con el intervalo de banda \ $ E_G \ $, la temperatura \ $ T \ $ y la constante de Boltzmann \ $ k \ $.
Pregunta 1: ¿Por qué se muestra esta fórmula con un signo proporcional al signo "\ $ \ propto \ $" en lugar del signo igual "\ $ = PS ¿Hay una fórmula más exacta para \ $ G_ {th} \ $?
Coeficiente de recombinación
La tasa de recombinación en un semiconductor es
$$ R = r (T) \ cdot n \ cdot p, \ tag {2} $$
con la concentración de electrones \ $ n \ $, la concentración de agujeros \ $ p \ $ y el coeficiente de recombinación \ $ r (T) \ $.
Para el equilibrio termodinámico, uno puede escribir
$$ G_ {th} = R = r (T) \ cdot n_0 \ cdot p_0, \ tag {3} $$
donde \ $ G_ {th} \ $ es la tasa de generación de arriba, vea la ecuación \ ref {1}.
Con la aproximación Maxwell-Boltzmann, ahora es posible utilizar la concentración intrínseca aproximada de portadores
$$ n_0 \ cdot p_0 = n_i ^ 2 \ approx \ left (\ frac {4 \ sqrt {2}} {h ^ 3} \ cdot \ left (\ pi \ cdot k \ cdot \ sqrt {m_n \ cdot m_p} \ right) ^ {3/2} \ cdot T ^ {3/2} \ cdot \ exp \ left (- \ frac {E_G} {2 \ cdot k \ cdot T} \ right) \ right) ^ 2 \ tag {4} $$
$$ \ hookrightarrow \ quad n_0 \ cdot p_0 = n_i ^ 2 \ approx n_ {i, 0} ^ 2 \ cdot T ^ 3 \ cdot \ exp \ left (- \ frac {E_G} {k \ cdot T} \ right ) \ tag {5} $$
\ $ h \ $ es la constante de Planck, y \ $ m_n \ $ y \ $ m_p \ $ son las masas efectivas de los electrones y agujeros, respectivamente.
Resolviendo el coeficiente de recombinación, se obtiene $$ r (T) = \ frac {G_ {th}} {n_0 \ cdot p_0} \ tag {6} $$ $$ \ hookrightarrow \ quad r (T) \ propto \ frac {\ exp \ left (- \ frac {E_G} {k \ cdot T} \ right)} {n_ {i, 0} ^ 2 \ cdot T ^ 3 \ cdot \ exp \ left (- \ frac {E_G} {k \ cdot T} \ right)} \ tag {7} $$ $$ \ hookrightarrow \ quad r (T) \ propto \ frac {1} {T ^ 3} \ tag {8} $$
Pregunta 2: ¿El coeficiente de recombinación (teóricamente y en el modelo físico más sencillo posible) disminuye al aumentar la temperatura, como sugiere la fórmula anterior?