Voltaje máximo y RMS para una onda sinusoidal

  

Sé Vpk = sqrt (2) Vrms

Eso solo es válido para ciertas formas de onda. Es bien sabido que es válido para una onda sinusoidal, no es tan conocido como verdadero para la forma de onda de la parte B en su pregunta.

Por cierto, parece que has leído la pregunta al revés, se pregunta qué valor de \ $ V_ {peak} \ $ se necesita para hacer que \ $ V_ {rms} = 140 V \ $ NO sea el valor de \ $ V_ { rms} \ $ es para \ $ V_ {peak} = 140V \ $

  

Mi pregunta es: ¿Cómo encontramos el área debajo del gráfico? Cuadramos la onda como antes, obteniendo el ciclo negativo como un cuadrado positivo.

Por simplicidad, deje que \ $ t = \ frac {1} {8} T \ $. La ecuación para el voltaje instantáneo de la onda sinusoidal es entonces.

$$ V = V_ {sin} \ sin (2 \ pi t) $$

Calculamos el RMS al cuadrar primero, luego calculando la media a lo largo de un ciclo (lo cual, dado que es una función continua que hacemos por integración) y, finalmente, a la raíz cuadrada.

$$ V_ {RMS} = \ sqrt {\ int_0 ^ 1 (V_ {sin} \ sin (2 \ pi t)) ^ 2 \ mathrm {d} t} $$

Entonces, es una cuestión de reorganizaciones de trigonometría e integración para resolver eso.

Pero, honestamente, espero que su examinador espere que usted sepa que \ $ V_ {RMS} = \ frac {V_ {sin}} {\ sqrt {2}} \ $ y no tenga que volver a derivarlo el examen.

  

Veo que tenemos 2 parábolas volteadas.

Realmente no, lo que encuentras cuando haces las identificaciones de trigono es que cuadrar una onda sinusoidal termina con una onda sinusoidal más una constante.

Los semiciclos positivo y negativo tienen el mismo valor RMS, por lo que puede encontrar el valor RMS en el semiciclo t = 0..4T. Dado que la forma de onda va de 0 a 0 una vez entre 0 y 4T, la ecuación para el seno es:

\ $ v (t) = V_ {SIN} \ sin (\ pi t / 4T) \ $

El valor RMS es justo

\ $ V_ {RMS} = V_ {SIN} \ sqrt {\ frac {1} {4T} \ int_ {0} ^ {4T} {\ sin ^ 2 (\ frac {\ pi t} {4T} ) dt}} \ $

que se evalúa como \ $ \ frac {V_ {SIN}} {\ sqrt {2}} \ $

Puede buscar la integral de sin ^ 2 (ax) dx o bien derivarla de la integración usando la identidad trigonométrica \ $ \ sin ^ 2 (x) \ equiv (1/2) (1- \ cos ( 2x)) \ $.

No debe llamar parábola a la forma de onda sinusoidal de media onda; no lo es, es una onda sinusoidal y puede tratarse matemáticamente en forma cerrada (exactamente) como tal. Como dice Peter, la integral parece una constante más una forma de onda sinusoidal (al doble de la frecuencia). Lo que tiene sentido si piensa en cómo se ve la potencia a medida que cambia el voltaje, siempre es positivo, por lo tanto, debe haber un desplazamiento y toca cero en los cruces por cero.

El RMS (utilizando métodos poco sistemáticos) en la parte B se encuentra contando los intervalos de tiempo que contienen un voltaje distinto de cero, multiplicando por \ $ V_P ^ 2 \ $, dividiendo por 8 (número total de intervalos de tiempo) y luego tomando la raíz cuadrada. Por lo tanto, hay 4 intervalos de tiempo que contienen voltaje y esto significa que RMS es: -

\ $ \ sqrt {\ dfrac {4V_P ^ 2} 8 {}} \ $ = \ $ \ dfrac {V_P} {\ sqrt2} \ $

Para la parte C, esto significa \ $ V_ {SIN} \ $ = \ $ V_P \ $. No debería sorprender a nadie como algo inusual si considera esta imagen: -

Hesuperpuestolaondacuadrada(ahoraenrojo)sobrelaondasinusoidalypodríaargumentarqueestoesloqueobtendríadeunADCquemuestrelaondasinusoidal4vecesporciclo,despuésdetodo,noesperaríaunRMSderivado.elvalordeesasmuestrasescualquierotracosaquenosea\$\dfrac{V_P}{\sqrt2}\$

SideseaelRMSdeunaondasinusoidal(ynotengolaintencióndehacerlasmatemáticasformales),cuadraráelseno(abajoenrojo),porlotanto:-

Luegotomeelvalormediodelaformadeondaazul(senocuadrado).Estoesclaramente0.5.Luegotomaslaraízcuadrada,esdecir,obtienes0.7071.Asíqueelpicodelaondasinusoidalfue1yelRMSes\$\dfrac{1}{\sqrt2}\$

DeestosetrataRMS;tomaslaraízdelamediadelcuadrado.Sideseapruebassobrelacuadraturadeunaondasinusoidal,estodeberíasersuficiente:-

Como puede ver, el valor medio de \ $ sin ^ 2 (x) \ $ es 0.5