Estoy simplificando la parte de la suma de un sumador completo. La ecuación que obtengo es:
$$ x \ cdot \ overline y \ cdot \ overline {cin} + \ overline x \ cdot \ overline y \ cdot cin + x \ cdot y \ cdot cin + \ overline x \ cdot y \ cdot \ overline { cin} $$
¿Cómo simplifico esto para obtener las dos xor puertas que forman la suma de un sumador completo?
Si está intentando usar las diversas leyes del álgebra booleana para pasar de la ecuación que tiene a un par de compuertas XOR, no es demasiado complicado, solo tiene que detectar similitudes.
Veamos su ecuación, ¿qué podemos hacer?
$$ x \ cdot \ overline y \ cdot \ overline c + \ overline x \ cdot \ overline y \ cdot c + x \ cdot y \ cdot c + \ overline x \ cdot y \ cdot \ overline c $$
Intenta eliminar factores:
Note que hay algunos términos \ $ c \ $ en común:
$$ \ begin {align} x \ cdot \ overline y \ cdot \ overline c + \ overline x \ cdot y \ cdot \ overline c & = (x \ cdot \ overline y + \ overline x \ cdot y) \ cdot \ overline c \\ \ overline x \ cdot \ overline y \ cdot c + x \ cdot y \ cdot c & = (\ overline x \ cdot \ overline y + x \ cdot y) \ cdot c \\ \ end {align} $$
Eso nos dejaría con:
$$ (\ overline x \ cdot \ overline y + x \ cdot y) \ cdot c + (x \ cdot \ overline y + \ overline x \ cdot y) \ cdot \ overline c $$
Usando la tabla estándar de funciones de álgebra booleana, podemos detectar fácilmente las compuertas XNOR y XOR:
$$ (\ overline x \ cdot \ overline y + x \ cdot y) \ cdot c + (x \ cdot \ overline y + \ overline x \ cdot y) \ cdot \ overline c = \ overline {(x \ oplus y)} \ cdot c + (x \ oplus y) \ cdot \ overline c $$
$$ \ overline {(x \ oplus y)} \ cdot c + (x \ oplus y) \ cdot \ overline c = \ overline d \ cdot c + d \ cdot \ overline c $$
$$ \ overline d \ cdot c + d \ cdot \ overline c = d \ oplus c $$
$$ d \ oplus c = (a \ oplus b) \ oplus c $$
Voy a suponer (o, si no, simplemente ponerlo directamente frente a ti) que sabes cómo configurar la lógica usando " dos xor gates " para hacer una suma:
No importa cómo estén organizadas esas tres entradas, ya que pueden estar en cualquiera de las seis permutaciones posibles y seguirá realizando la misma función.
Estás tratando de reorganizar una fórmula que tienes en una que te proporcione la disposición anterior (o una de las equivalentes). ¿Por qué no empezar a escribir (lo que no hiciste) lo que el par anterior? de XOR puertas se ve como en una ecuación lógica?
Bueno, todo lo que necesita saber para hacer esto es recordar (o construir a mano, si es necesario) la idea de que \ $ A \ oplus B = A \ cdot \ overline {B} + \ overline {A} \ cdot B \ $. Ahora, solo haz la transformación:
$$ \ begin {align *} SUMA & = (A \ oplus B) \ oplus C_ {in} \\ \\ & = \ left (A \ cdot \ overline {B} + \ overline {A} \ cdot B \ right) \ oplus C_ {in} \\ \\ & = \ left (A \ cdot \ overline {B} + \ overline {A} \ cdot B \ right) \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ overline {\ left (A \ cdot \ overline {B } + \ overline {A} \ cdot B \ right)} \ cdot C_ {in} \\ \\ & = A \ cdot \ overline {B} \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ overline {A} \ cdot B \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ left (\ overline {A \ cdot \ overline {B}} \ cdot \ overline {\ overline {A} \ cdot B} \ right) \ cdot C_ {in} \\ \\ & = A \ cdot \ overline {B} \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ overline {A} \ cdot B \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ left (\ left (\ overline { A} + B \ derecha) \ cdot \ izquierda (A + \ overline {B} \ derecha) \ derecha) \ cdot C_ {en} \\ \\ & = A \ cdot \ overline {B} \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ overline {A} \ cdot B \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ left (\ overline {A} \ cdot A + A \ cdot B + \ overline {A} \ cdot \ overline {B} + \ overline {B} \ cdot B \ right) \ cdot C_ {in} \\ \\ & = A \ cdot \ overline {B} \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ overline {A} \ cdot B \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ left (A \ cdot B + \ overline {A} \ cdot \ overline {B} \ right) \ cdot C_ {in} \\ \\ & = A \ cdot \ overline {B} \ cdot \ overline {C_ {in}} + \ overline {A} \ cdot B \ cdot \ overline {C_ {in}} + A \ cdot B \ cdot C_ {in } + \ overline {A} \ cdot \ overline {B} \ cdot C_ {in} \ end {align *} $$
¿Puedes ver ahora cómo llegar?
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