¿Cómo funciona un cargador inalámbrico sin que un núcleo magnético pase a través de ambas "bobinas"?

Se recomienda un núcleo de metal porque concentra el campo magnético. Esto hace que el acoplamiento magnético entre bobinas sea más efectivo, pero también puede hacerlo sin el núcleo, especialmente si ambas bobinas están bien acopladas (mecánicamente cerca una de la otra). Si no tiene un núcleo y las dos bobinas están separadas una cierta distancia, parte del campo generado pasará fuera de la otra bobina.
(En un transformador, el metal exterior "ataja" el campo, aumentándolo. Sin este metal exterior, el campo llenaría un gran volumen alrededor del núcleo).

  

la corriente alterna en la primaria   bobina induce alternante   campo electromagnético en el núcleo y   ese campo induce corriente en el   bobina secundaria

Sí, pero "en el núcleo" no es necesario. Una bobina crea un campo magnético a su alrededor, ya sea que haya un núcleo allí o no. El núcleo simplemente limita el campo magnético de modo que una menor cantidad de "fugas", lo que hace que el transformador sea más eficiente.

También puede hacer que la transmisión sea más eficiente poniendo un condensador en serie con ambas bobinas para que resuenen en la misma frecuencia: enlace

Un buen ejemplo de inducción electromagnética sin un núcleo metálico es una etiqueta RFID pasiva, que no tiene batería. En cambio, extrae energía del lector, que envía ondas electromagnéticas que inducen una corriente en la antena de la etiqueta. La distancia entre la etiqueta y el lector puede ser de varias pulgadas. Obviamente, a esta distancia, se puede transmitir muy poca potencia, pero ilustra el principio.

Todo lo que se requiere para un transformador es que los campos magnéticos de las dos bobinas estén vinculados. Los núcleos de hierro hacen que esto sea más efectivo en las frecuencias de potencia y audio, pero los núcleos (más de unos 100kHz) se convierten en una responsabilidad.