Cálculo de DC: RC paralelo a C

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He estado teniendo problemas al calcular el comportamiento de DC en el siguiente circuito:

simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab

Cuando intento calcular el voltaje del condensador C1, obtengo resultados diferentes según la forma en que trato de encontrarlo. Aquí están las dos formas en que traté de calcularlo:

  1. Resolver la ley actual de Kirchhoff

$$ I_1 = i_ {c1} (t) + i_ {c2} (t) = C_1 \ cdot \ frac {\ mathrm {d} u_ {c1} (t)} {\ mathrm {d} t} + C_ {p} \ cdot \ frac {\ mathrm {d} (u_ {c1} (t) + u_ {r1} (t))} {\ mathrm {d} t} \\  I_1 = (C_1 + C_2) \ cdot \ frac {\ mathrm {d} u_ {c1} (t)} {\ mathrm {d} t} + C_ {2} \ cdot R_1 \ frac {\ mathrm {d} i_ {c1} (t)} {\ mathrm {d} t} \\ I_1 = (C_1 + C_2) \ cdot \ frac {\ mathrm {d} u_ {c1} (t)} {\ mathrm {d} t} + C_1 \ cdot C_ {2} \ cdot R_1 \ frac {\ mathrm { d} ^ 2 u_ {c1} (t)} {\ mathrm {d} ^ 2 t} \\ \ int I_1 \ mathrm {d} t = \ int ((C_1 + C_2) \ cdot \ frac {\ mathrm {d} u_ {c1} (t)} {\ mathrm {d} t} + C_1 \ cdot C_ { 2} \ cdot R_1 \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 u_ {c1} (t)} {\ mathrm {d} ^ 2 t}) \ mathrm {d} t \\ \ frac {I_1 \ cdot t} {C_1 \ cdot C_ {2} \ cdot R_1} + K_1 = \ frac {(C_1 + C_2)} {C_1 \ cdot C_ {2} \ cdot R_1} \ cdot u_ {c1} (t) + \ frac {\ mathrm {d} u_ {c1} (t)} {\ mathrm {d} t} $$

Al resolver esta ecuación diferencial de primer orden, obtengo:

$$ u_ {c1} (t) = \ frac {I_1} {C_1 + C_2} (t - \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) + \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} \ cdot K_1 + K_2 \ cdot \ mathrm {e} ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}} \\ $$

El valor inicial del capcitor C1 se asume como uc1_0. Esto lleva a:

$$ u_ {c1} (t) = \ frac {I_1} {C_1 + C_2} (t - \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) + \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} \ cdot K_1 + (u_ {c1_0} + \ frac {I_1} {C_1 + C_2} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} - \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} \ cdot K_1) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}} \\ $$

No sé cómo puedo realmente encontrar K_1 ya que solo tengo un valor inicial que uso para encontrar K_2. ¿Se puede omitir o combinar con K2?

  1. Solución con corriente capacitadora

Hasta ahora todo bien. Calculé la corriente ic1 a través del condensador C1 y la resistencia R1 como:

$$ i_ {c1} (t) = I_1 \ cdot \ frac {C_1} {C_1 + C2} - (I_1 \ cdot \ frac {C_1} {C_1 + C2} - i_ {c1_0}) \ cdot \ mathrm {e} ^ {-t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}} \\ $$

Cuando intento calcular la tensión uc1 del capacitador c1 multiplicando la corriente ic1 (t) con 1 / C1 e integrándola sobre dt no recibo el mismo resultado:

$$ u_ {c1} (t) = \ frac {1} {C_1} \ int i_ {c1} (t) \ mathrm {d} t = \ int (\ frac {I_1} {C_1 + C_2} - (\ frac { I_1} {C_1 + C2} - \ frac {i_ {c1_0}} {C_1}) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}}) \ mathrm {d} t \\ u_ {c1} (t) = K_1 + \ frac {I_1} {C_1 + C_2} \ cdot t - (\ frac {I_1} {C_1 + C2} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1) {C_1 + C_2} - \ frac {i_ {c1_0}} {C_1} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) \ mathrm {e} ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}} \\ u_ {c1} (0) = u_ {c1_0} = K_1 - (\ frac {I_1} {C_1 + C2} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} - \ frac {i_ { c1_0}} {C_1} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) \\ K_1 = u_ {c1_0} + (\ frac {I_1} {C_1 + C2} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} - \ frac {i_ {c1_0}} {C_1} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) \\ u_ {c1} (t) = u_ {c1_0} + \ frac {I_1} {C_1 + C2} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} - \ frac {i_ {c1_0}} {C_1} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} + \ frac {I_1} {C_1 + C_2} \ cdot t - (\ frac {I_1} {C_1 + C2} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} - \ frac {i_ {c1_0}} {C_1} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) \ mathrm {e } ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}} \\ u_ {c1} (t) = u_ {c1_0} + \ frac {I_1} {C_1 + C_2} \ cdot t - \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} (\ frac {I_1} { C_1 + C2} - \ frac {i_ {c1_0}} {C_1}) \ cdot (1- \ mathrm {e} ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}}) $$

¿Cuál de las soluciones es correcta?

Al comparar las dos soluciones, la diferencia más obvia (y la más desconcertante para mí) es uc1_0. Una vez que es un valor constante en la ecuación y luego se multiplica con e ^ -x, lo que hace que su influencia disminuya.

Estoy en mi ingenio final. No puedo encontrar mi error pero tiene que haber uno.

    
pregunta M. Lavery

3 respuestas

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La segunda solución para \ $ u_ {c1} (t) \ $ es correcta. Calculé \ $ i_ {c1} (t) \ $ correctamente y también calculé \ $ u_ {c1} (t) \ $ correctamente a través de la integración.

Para calcular \ $ u_ {c1} (t) \ $ correctamente a través del primer método \ $ K1 \ $ no debe omitirse, sino que debe mantenerse a lo largo del cálculo. Sin embargo, necesitamos más información para determinar \ $ K1 \ $. Mi error fue olvidar el segundo valor inicial.

Tenemos dos valores iniciales
1. \ $ u_ {c1_0} \ $ para el voltaje C1: usamos este valor para calcular \ $ K_2 \ $

  1. \ $ i_ {c1_0} \ $ para la corriente a través de C1: podemos usar este valor para determinar \ $ K_1 \ $

Para poder utilizar el valor inicial de la corriente \ $ i_ {c1_0} \ $ tenemos que calcular la corriente a través de

$$ i_ {c1} (t) = C_1 \ cdot \ frac {\ mathrm {d} u_ {c1} (t)} {\ mathrm {d} t} $$ $$ i_ {c1} (t) = \ frac {I_q \ cdot C_1} {C_1 + C_2} - (C_1 \ cdot \ frac {C_1 + C_2} {C_2 \ cdot R_1 \ cdot C_1} \ cdot u_ {c1_0} + \ frac {I_q \ cdot C_1} {C_1 + C_2} + C_1 \ cdot K_1) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- \ frac {C_1 + C_2} {C_2 \ cdot R_2 \ cdot C_1} \ cdot t} $$

Si asumimos que \ $ t = 0 \ $ recibimos:

$$ K_1 = \ frac {i_ {c1_0}} {C_1} + \ frac {C_1 + C_2} {C_2 \ cdot R_2 \ cdot C_1} \ cdot u_ {c1_0} $$

Podemos usar \ $ K_1 \ $ en el \ $ u_ {c1} (t) \ $:

calculado originalmente.

$$ u_ {c1} (t) = \ frac {I_1} {C_1 + C_2} (t - \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) + \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} \ cdot K_1 + (u_ {c1_0} + \ frac {I_1} {C_1 + C_2} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} - \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} \ cdot K_1) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}} \\ $$

$$ u_ {c1} (t) = \ frac {I_1} {C_1 + C_2} (t - \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) + \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} \ cdot (\ frac {i_ {c1_0}} {C_1} + \ frac {C_1 + C_2} {C_2 \ cdot R_2 \ cdot C_1} \ cdot u_ {c10}] + ( u_ {c1_0} + \ frac {I_1} {C_1 + C_2} \ cdot \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} - \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} \ cdot (\ frac {i_ {c1_0}} {C_1} + \ frac {C_1 + C_2} {C_2 \ cdot R_2 \ cdot C_1} \ cdot u_ {c1_0})) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}} \\ $$

Los \ $ u_ {c1_0} \ $ dentro del paréntesis se cancelan mutuamente y recibimos:

$$ u_ {c1} (t) = \ frac {I_1} {C_1 + C_2} (t - \ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) + \ frac {i_ {c1_0 } \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2} + u_ {c1_0} + (\ frac {I_1 \ cdot C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {(C_1 + C_2) ^ 2} - \ frac {i_ {c1_0 } \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2})) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1}} \\  u_ {c1} (t) = u_ {c1_0} + \ frac {I_1} {C_1 + C_2} \ cdot t - (\ frac {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) + \ frac {i_ {c1_0} \ cdot C_2 \ cdot R_1} {C_1 + C_2}) \ cdot (1- \ mathrm {e} ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {C_1 \ cdot C_2 \ cdot R_1})) \\ $$

Que es lo que había calculado antes y, por lo tanto, supongo que es correcto.

    
respondido por el M. Lavery
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El análisis de ecuación diferencial de primer orden da:

Flujo actual \ $ \ small down \ $ through \ $ \ small C_1 \ $: $$ \ small I_1 = - \ frac {C_1} {C_1 + C_2} \ left (1-e ^ {- \ frac { (C_1 + C_2)} {RC_1C_2} t} \ right) = - \ frac {1} {11} \ left (1-e ^ {- t / 9.1 \ times 10 ^ {- 5}} \ right) $$

Flujo actual \ $ \ pequeño hacia abajo \ $ a través de \ $ \ pequeño C_2 \ $: $$ \ pequeño I_2 = - izquierda (\ frac {C_2} {C_1 + C_2} + \ frac {C_1} {C_1 + C_2} e ^ {- \ frac {(C_1 + C_2)} {RC_1C_2} t} \ right) = - \ frac {1} {11} \ left (10 + e ^ {- t / 9.1 \ times10 ^ {- 5}} \ right) $$

Voltaje en \ $ \ small C_2 \ $:

$$ \ small V_ {C2} = \ frac {1} {C_2} \ int_0 ^ t I_2 \: dt = - \ frac {1} {C_2} \ int_0 ^ t \ left (\ frac {C_2} {C_1 + C_2} \ derecha) + \ izquierda (\ frac {C_1} {C_1 + C_2} \ derecha) e ^ {- \ frac {(C_1 + C_2)} {RC_1C_2} t} \: dt $$

así: $$ \ small V_ {C2} = - \ left (\ small \ frac {1} {C_1 + C_2} \ right) t + \ frac {RC_1 ^ 2} {(C_1 + C_2) ^ 2} \ left (1- e ^ {- \ frac {(C_1 + C_2)} {RC_1C_2} t} \ right) $$

    
respondido por el Chu
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Entonces, al usar KVL, las ecuaciones de KCL, obtendrías algo como abajo, considerando los voltajes a través de C1 y C2 como v1 y v2 $$ C_1 \ frac {dv_1} {dt} + C_2 \ frac {dv_2} {dt} + I_1 = 0 $$ $$ v_2 = v_1 + i_1R = v_1 + RC_1 \ frac {dv_1} {dt} $$ Sustituyendo v2 en la ecuación anterior, $$ C_1 \ frac {dv_1} {dt} + C_2 \ frac {d} {dt} (v_1 + RC_1 \ frac {dv_1} {dt}) + I_1 = 0 $$ $$ (C_1 + C_2) \ frac {dv_1} {dt} + RC_1C_2 \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} v_1 + I_1 = 0 $$ Ahora aplicando la transformada de laplace a la expresión de dominio de tiempo anterior que obtenemos, $$ (C_1 + C_2) [sV_1 (s) -v_1 (0 ^ -)] + RC_1C_2 [s ^ 2V_1 (s) -sv_1 (0 ^ -) - \ frac {dv_1} {dt} | _ {t = 0 ^ -}] + \ frac {I_1} {s} = 0 $$ Suponiendo que el experimento comienza en t = 0, y los voltajes de los condensadores v1 y v2 serán 0V, $$ V_1 (s) = \ frac {-I_1} {s ^ 2 (C_1 + C_2 + RC_1C_2s)} $$ El tiempo de respuesta sería, (después de fracciones parciales) $$ v_1 (t) = \ frac {-I_1} {C_1 + C_2} [t- \ frac {RC_1C_2} {C_1 + C_2} (1-e ^ {- t \ frac {C_1 + C_2} {RC_1C_2}} )] u (t) $$

    
respondido por el Aditya Madhusudhan

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