Magnitud de la función de transferencia, ¿cómo tratar con 'j'?

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Tengo la función de transferencia simple de un filtro RC:

\ $ H (s) = \ frac {sRC} {1 + sRC} \ $

Para encontrar la magnitud, cuadrar la ecuación anterior y sacar la raíz cuadrada:

\ $ (H (s)) ^ 2 = \ frac {(sRC) ^ 2} {(sRC + 1) ^ 2}; s = j \ omega \ $

\ $ (H (s)) ^ 2 = \ frac {(j \ omega R C) ^ 2} {(j \ omega R C + 1) ^ 2} \ qquad (1) \ $

Aquí es donde me quedo atascado. Sé que la magnitud correcta debe ser de la forma:

\ $ | H (s) | = \ sqrt {\ frac {(\ omega R C) ^ 2} {(\ omega R C) ^ 2 + 1}} \ qquad (2) \ $

Sin embargo, cuando realmente trato de calcular esto en un papel no sé cómo tratar con el \ $ j \ $. No entiendo cómo pasar de la ecuación que obtengo de la ecuación (1) a la ecuación (2). \ $ - 1 \ $ from \ $ j ^ 2 \ $ hace que el formulario tenga el siguiente aspecto:

\ $ (H (s)) ^ 2 = \ frac {-top} {1 - bottom} \ $

Si tuviera que tomar la raíz cuadrada de esto, no obtendré la ecuación (2).

¿Qué estoy haciendo mal?

    
pregunta Zearia

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Teniendo en cuenta lo que ya has desarrollado:

$$ \ begin {align *} H \ left (s \ right) \ quad & = \ quad \ frac {s R C} {1 + s R C} \\\\ \ mid \: H \ left (s \ right) \: \ mid ^ {\: 2} \ quad & = \ quad H \ left (s \ right) \ cdot H \ left (s ^ * \ right) \ \\\ & = \ quad \ frac {s R C} {1 + s R C} \ cdot \ frac {s ^ * R C} {1 + s ^ * R C} \\\\ & = \ quad \ frac {\ left (\ sigma ^ 2 + \ omega ^ 2 \ right) R ^ 2 C ^ 2} {1 + 2 \ sigma R C + \ sigma ^ 2 R ^ 2 C ^ 2 + \ omega ^ 2 R ^ 2 C ^ 2} \ end {align *} $$

Laplace usa \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $. Pero esto se derrumba a Fourier a lo largo de la parte del eje imaginario, o la parte \ $ j \ omega \ $ de eso. Dado que desea la parte periódica y no en descomposición de la respuesta del sistema, la respuesta de frecuencia, establece \ $ \ sigma = 0 \ $ in \ $ s \ $.

Así que lo anterior pasa a:

$$ \ begin {align *} \ mid \: H \ left (j \ omega \ right) \: \ mid \ quad & = \ sqrt {\ frac {\ omega ^ 2 R ^ 2 C ^ 2} {1 + \ omega ^ 2 R ^ 2 C ^ 2}} \\\\ & = \ quad \ frac {\ omega R C} {\ sqrt {1+ \ omega ^ 2 R ^ 2 C ^ 2}} \ end {align *} $$

Espero que eso ayude.

    
respondido por el jonk

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