Tienes dos incógnitas, \ $ i_1, i_2 \ $ y dos ecuaciones, por lo que tus ecuaciones se pueden resolver.
La resolución de estas ecuaciones se realiza generalmente utilizando la transformada de Laplace.
$$ \ left \ {\ begin {align}
i_1R_1 + L_1 \ frac {di_1} {dt} - M \ frac {di_2} {dt} & = v_1 (t) \\
-M \ frac {di_1} {dt} + i_2R_2 + L_2 \ frac {di_2} {dt} & = 0
\ end {align} \ right. $$
Conduce a
$$ \ left \ {\ begin {align}
(R_1 + L_1s) & \ cdot I_1 & - Ms \ cdot I_2 & = V_1 (s) \\
-Ms & \ cdot I_1 & + (R_2 + L_2s) \ cdot I_2 & = 0
\ end {align} \ right. $$
$$ I_2 = \ frac {\ left | \ begin {matrix}
R_1 + L_1s & V_1 (s) \\
-Ms & 0
\ end {matrix} \ right |
} {\ left | \ begin {matrix}
R_1 + L_1s & -Sra \\
-Ms & R_2 + L_2s
\ end {matrix} \ right |
} = \ frac {Ms \ cdot V_1 (s)} {(R_1 + L_1s) (R_2 + L_2s) -M ^ 2s ^ 2} $$
Si prefieres las ecuaciones diferenciales, siempre puedes volver usando:
$$ \ begin {align}
\ left [(R_1 + L_1s) (R_2 + L_2s) -M ^ 2s ^ 2 \ right] \ cdot I_2 (s) & = Ms \ cdot V_1 (s) \\
& \ Downarrow \\
\ left [R_1R_2 + (R_1L_2 + R_2L_1) s + (L_1L_2-M ^ 2) s ^ 2 \ right] \ cdot I_2 (s) & = Ms \ cdot V_1 (s) \\
& \ Downarrow \ mathcal {L} ^ {- 1} \\
R_1R_2 \ cdot i_2 (t) + (R_1L_2 + R_2L_1) \ frac {di_2} {dt} + (L_1L_2-M ^ 2) \ frac {d ^ 2i_2} {dt ^ 2} & = M \ frac {dv_1) {dt}
\ end {align} $$
