Estoy tratando de encontrar un poco de una derivación para \ $ P = \ frac {1} {2} V_mI_m \ cos (\ theta) \ $ y \ $ Q = \ frac {1} {2} V_mI_m \ sin (\ theta) \ $, pero usando fasores (porque puedo visualizarlo mejor).
Sé lo siguiente (principalmente de otra pregunta que hice): $$ \ text {Let} v (t) = V_m \ cos (\ omega t) \ text {y} i (t) = I_m \ cos (\ omega t + \ theta) \\ p (t) = v (t) i (t) \\ p (t) = V_m \ cos (\ omega t) I_m \ cos (\ omega t + \ theta) \\ p (t) = \ frac {V_mI_m} {2} (\ cos (\ theta) + \ cos (2 \ omega t + \ theta)) $$ Entonces de lo anterior es fácil ver que el valor promedio es: $$ \ bar {p} (t) = \ frac {V_mI_m} {2} \ cos (\ theta) $$
Ahora esto no es para nada con los fasores, intenté conseguir algo similar con los fasores ...
Aquí está mi intento (fallido).
Si asumo que tengo un vector I para la corriente y un vector V para el voltaje tal que $$ \ textbf {I} = I_m \ angle \ theta \\ \ textbf {V} = V_m \ angle 0 = V_m $$
Ahora que entiendo Real Power, la potencia real es el componente de la corriente, I , que va en la dirección de la tensión, multiplicada por la tensión, V .
Por lo tanto, el componente de I que va en la dirección de V es $$ \ textbf {I} _v = | \ textbf {I} | \ cos (\ theta) \ cdot \ frac {\ textbf {V}} {| \ textbf {V}}} \\ \ textbf {I} _v = | \ textbf {I} | \ cos (\ theta) \ angle 0 $$
Así que ahora tenemos el componente de I que va en la dirección de V .
Ahora pensé que literalmente lo multiplicaría por V $$ \ textbf {P} = \ textbf {V} \ textbf {I} _v \\ \ textbf {P} = | V_m || I_m | \ cos (\ theta) \ angle 0 $$
Ahora trayendo eso de vuelta al dominio del tiempo $$ p (t) = \ left (V_mI_m \ cos (\ theta) \ right) cos (\ omega t) $$
Estoy bastante seguro de que esto está mal ... ¡Sin embargo, no puedo averiguar dónde no tiene sentido!