Tengo esta pregunta aquí, que no estoy seguro de mi respuesta final:
Primero,cronometroelnumeradoryeldenominadorporelconjugado1-jt,loquemedalaformaalternativadelafunción
Yporúltimo,heencontradolaTransformadadeFourierdelsiguientetérmino
Como resultado, la Transformada de Fourier final de x (t) sería 0. ¿Me he equivocado en alguna parte de mi razonamiento?
La hoja de fórmulas que usamos para este documento es aquí y here
Hay un truco importante para resolver tales problemas. Si tiene un par de transformación estándar y solo intercambia las variables \ $ t \ $ y \ $ \ omega \ $, entonces puede usar su tabla si sabe lo siguiente:
$$ \ mathcal {F} \ {f (t) \} = F (\ omega) \ Longrightarrow \ mathcal {F} \ {F (t) \} = 2 \ pi f (- \ omega) \ etiqueta {1} $$
Esto es una consecuencia del hecho de que la transformada de Fourier y la transformada inversa son esencialmente idénticas, aparte del factor \ $ 2 \ pi \ $ y un signo menos en el exponente. Esto es exactamente lo que ve en (1): obtiene un factor de \ $ 2 \ pi \ $ y tiene que invertir la variable de frecuencia \ $ \ omega \ $.
En su caso, el par de transformación estándar es
$$ \ mathcal {F} \ {e ^ {- t} u (t) \} = \ frac {1} {1 + j \ omega} $$
de la que obtienes usando (1)
$$ \ mathcal {F} \ left \ {\ frac {1} {1 + jt} \ right \} = 2 \ pi e ^ {\ omega} u (- \ omega) \ tag {2} $ $
PS: El error en tus cálculos está en la última derivada. Calcula el derivado como si considerara la función \ $ e ^ {- \ omega} \ $ en lugar de \ $ e ^ {- | \ omega |} \ $. El derivado correcto es
$$ \ pi \ text {sign} (\ omega) e ^ {- | \ omega |} $$
que da la respuesta
$$ X (\ omega) = \ pi e ^ {- | \ omega |} (1- \ text {sign} (\ omega)) = 2 \ pi e ^ {- | \ omega |} u ( - \ omega) = 2 \ pi e ^ {\ omega} u (- \ omega) $$
que por supuesto es idéntico a (2).
Su error está en el último paso: la derivada de \ $ e ^ {- | w |} \ $ es diferente según lo que calculó. La respuesta correcta (creo) es la que se muestra aquí
Ya que no estoy totalmente seguro, simplemente expande tu ecuación con j en lugar del término conjugado completo. Esto llevará más rápido al resultado.
