y (t) = h (t) * x (t) donde h (t) es un exponencial decreciente y x (t) = sin (5t) u (t). Encuentre y (t) usando el teorema de convolución. Estoy confundido acerca de la onda sinusoidal. Si escribo sinusoide en forma exponencial, también obtengo partes imaginarias. alguien puede ayudar por favor
Sugerencia: debe combinar los exponenciales complejos resultantes en términos de seno y coseno:
$$ \ sin x = \ frac {e ^ {jx} -e ^ {- jx}} {2j} \\ \ cos x = \ frac {e ^ {jx} + e ^ {- jx}} {2} $$
Si usa \ $ h (t) = e ^ {- at} u (t) \ $, debería terminar con la expresión
$$ y (t) = \ frac {1} {a ^ 2 + 25} \ left [a \ sin (5t) -5 \ cos (5t) + 5e ^ {- at} \ right] u ( t) $$
Lo he resuelto así:
Digamos que h (t) = exp (-5t) u (t).
Debido a que tenemos u (t), y (t) = 0 para t < 0 ya que el paso de la unidad es cero para valores menores que '0'
Para t > 0 obtenemos el límite inferior = 0 y el límite superior = t
y (t) = x (t) * h (t)
= ∫ x(Ω) h(t-Ω) dΩ
= ∫ sin(Ω) exp(-5t+5Ω) dΩ *convolution expression*
= exp(-5t) ∫sin(Ω) exp(5Ω) dΩ
usando fórmula integral:
exp (ax) sin bx dx = (exp (ax) / (a 2 + b 2) (a sin bx - b cos bx) + c
Y luego aplique los límites (límite inferior = 0; límite superior = t)
P.S no tengo mucha experiencia escribiendo expresiones matemáticas como esta, así que disculpe mis anotaciones
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