Buscar la función de correlación automática de una señal
$$ g (t) = e ^ {- 2t} \ cdot u (t) $$
donde \ $ u (t) \ $ es la función de paso de unidad.
No sé cómo empezar a resolver este problema. Mi libro enumera solo esta ecuación:
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) g (t + T) dt $$
El problema no nos dice qué es \ $ T \ $ por lo que estoy confundido.
La variable \ $ T \ $ es la variable independiente de la función de autocorrelación. Entonces
$$ R (T) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) g (t + T) dt $$
es la función de autocorrelación. Sustituyendo los \ $ g (t) \ $ dados dados
$$ R (T) = e ^ {- 2T} \ int _ {\ max \ {0, -T \}} ^ {\ infty} e ^ {- 4t} dt = e ^ {- 2T} \ frac14 e ^ {- 4 \ max \ {0, -T \}} = \ frac14 e ^ {- 2 | T |} \ tag {1} $$
que es una función simétrica con su máximo en \ $ T = 0 \ $, como debería ser el caso de una función de autocorrelación.
EDIT:
Y ahora con todos los detalles de la integración:
$$ g (t) g (t + T) = e ^ {- 2t} u (t) e ^ {- 2 (t + T)} u (t + T) = e ^ {- 2T} e ^ {- 4t} u (t) u (t + T) $$
Ahora mire el producto \ $ u (t) u (t + T) \ $:
$$ u (t) u (t + T) = \ begin {cases} u (t), & T > 0 \\ u (t + T), & T < 0 \ end {cases} $$
(dibuje \ $ u (t) \ $ y \ $ u (t + T) \ $ si no ve esto). Así que obtenemos
$$ T > 0: \ quad e ^ {- 2T} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- 4t} u (t) dt = e ^ {- 2T} \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- 4t} dt = e ^ {- 2T} \ left (- \ frac14 \ right) e ^ {- 4t} \ Big | _0 ^ {\ infty} = \ frac14 e ^ {- 2T } $$
$$ T < 0: \ quad e ^ {- 2T} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- 4t} u (t + T) dt = e ^ {- 2T} \ int _ {- T} ^ {\ infty} e ^ {- 4t} dt = e ^ {- 2T} \ left (- \ frac14 \ right) e ^ {- 4t} \ Big | _ {- T} ^ {\ infty} = \ frac14 e ^ {2T} $$
Podemos combinar estas dos expresiones si usamos \ $ e ^ {- 2 | T |} \ $, lo que resulta en la ecuación. (1) como se indica anteriormente.
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