No voy a darte la respuesta, pero te daré una pista y espero que puedas resolverlo desde allí. Descargo de responsabilidad: han pasado aproximadamente 3 años desde que estudié este tema, por lo que debería comprobar que todo lo que estoy escribiendo tiene sentido en función de lo que le enseñaron: si está mal, no llore Para mí, si obtiene una mala nota, es su responsabilidad verificar y comprender todo.
Tienes las siguientes dos ecuaciones:
$$ E_1 ^ {(1)} = \ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_0 \ epsilon_ {r1} r ^ 2}, a < r < b $$
$$ E_2 ^ {(1)} = \ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_0 \ epsilon_ {r2} r ^ 2}, b < r < c $$
Sabes que cuando se elimina el dieléctrico 2, se cumple lo siguiente:
$$ E_1 ^ {(2)} = \ frac {2} {3} \ veces E_1 ^ {(1)} $$
Para que lo anterior sea cierto, lo único que puede cambiar es el cargo \ $ Q \ $, por lo que podemos decir:
$$ \ frac {Q ^ {(2)}} {4 \ pi \ epsilon_0 \ epsilon_ {r1} r ^ 2} = \ frac {2} {3} \ frac {Q ^ {(1)} } {4 \ pi \ epsilon_0 \ epsilon_ {r1} r ^ 2} $$
Puede encontrar \ $ Q ^ {(2)} \ $ en términos de \ $ Q ^ {(1)} \ $ de manera que lo anterior sea cierto.
También sabemos por la pregunta que
$$ E_2 ^ {(2)} = 2 \ times E_2 ^ {(1)} $$
También podemos decir que:
$$ \ frac {Q ^ {(2)}} {4 \ pi \ epsilon_0 r ^ 2} = 2 \ frac {Q ^ {(1)}} {4 \ pi \ epsilon_0 \ epsilon_ {r2} r ^ 2} $$
Ahora, si sustituyes a \ $ Q ^ {(2)} \ $ obtienes una ecuación para la que todo es igual en ambos lados, excepto que un lado tiene un \ $ \ epsilon_ {r2} \ $ y el otro lado tiene un factor de escala constante. Reorganice y encontrará un valor para \ $ \ epsilon_ {r2} \ $.
A continuación, necesitamos saber qué es \ $ \ epsilon_ {r1} \ $.
Has resuelto eso (no he comprobado si esto es correcto, pero lo pones en tu pregunta, así que voy con lo que has resuelto):
$$ U ^ {(1)} = \ int_a ^ b \ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon_0 \ epsilon_ {r1} r ^ 2} \ mathrm dr + \ int_b ^ c \ frac {Q} { 4 \ pi \ epsilon_0 \ epsilon_ {r2} r ^ 2} \ mathrm dr = \ frac {Q ^ {(1)}} {4 \ pi \ epsilon_0} \ left (\ frac {ba} {\ epsilon_ {r1} ab} + \ frac {cb} {\ epsilon_ {r2} bc} \ right) $$
Luego podemos decir que (tenga en cuenta que no es necesario volver a realizar la integración, solo decimos que \ $ Q \ $ y \ $ \ epsilon_ {r2} \ $ han cambiado como se muestra):
$$ U ^ {(2)} = \ frac {Q ^ {(2)}} {4 \ pi \ epsilon_0} \ left (\ frac {ba} {\ epsilon_ {r1} ab} + \ frac {cb} {bc} \ right) $$
Tienes dos ecuaciones para \ $ U \ $ ahora. Ahora sabe que este voltaje es constante (según la pregunta), por lo que en ambos casos \ $ U \ $ debe ser el mismo, para que pueda igualar sus dos ecuaciones.
Ahora haga alguna simplificación sustituyendo primero la relación entre \ $ Q ^ {(2)} \ $ y \ $ Q ^ {(1)} \ $, y también sustituyendo \ $ \ epsilon_ {r2} \ $. Una vez que todo se simplifique, obtendrás un valor para \ $ \ epsilon_ {r1} \ $
