Esto parece ser una tarea o una pregunta de autoeducación, así que no mostraré la solución completa. Solo tres puntos de partida.
No hay ninguna razón física para reflejar la carga, pero creo que hace que el cálculo sea más fácil y / o menos propenso a errores. ¡No olvide reflejar la solución y volver a montar los dos cargos de línea al final!
Integración sobre x
El enfoque más sencillo para calcular el campo en el punto M es utilizar la fórmula para el campo de un cargo puntual e integrarlo sobre el cargo total.
Introduzcamos un nuevo parámetro \ $ b \ $ que debería indicar la distancia entre una cierta porción \ $ dQ \ $ de la distribución de cargos al origen \ $ O \ $. Esto significa \ $ b \ en [0; a] \ $, y puede volver a escribir \ $ dQ = \ rho_s \, db \ $.
Ahora, el campo generado por una pieza \ $ dQ \ $ de cargo es:
$$ d \ vec {E} = \ frac {dQ} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {1} {| r | ^ 2} \ frac {\ vec {r}} {| r |} = \ frac {\ rho_s} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ vec {r}} {| r | ^ 3} \, db $$
$$ \ vec {E} = \ int_0 ^ a \ frac {\ rho_s} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ vec {r}} {| r | ^ 3} \, db $$
El problema aquí es que
$$ \ vec {r} = \ begin {pmatrix} x + b \\ y \ end {pmatrix} \ \ Rightarrow \ | r | ^ 3 = \ sqrt {(x + b) ^ 2 + y ^ 2} ^ 3 $$
lo que hace que la integración sea un poco difícil.
Integración sobre \ $ \ beta \ $
El segundo boceto implica que puede integrarse en un ángulo \ $ \ beta \ $. Tenga en cuenta que puede escribir
$$ \ vec {r} = \ underbrace {\ begin {pmatrix} \ sin \ beta \\\ cos \ beta \ end {pmatrix}} _ {= \ vec {r} / | \ vec {r} |} \ cdot \ frac {y} {\ cos \ beta} = \ begin {pmatrix} y \ cdot \ tan \ beta \\ y \ end {pmatrix} $$
lo que simplifica tu integral. Tenga en cuenta que el intervalo de integración ahora es \ $ \ int _ {\ beta_1} ^ {\ beta_2} ... d \ beta \ $. Además, tienes que encontrar una nueva expresión \ $ dQ = ... d \ beta \ $. (No calculé esto y tampoco probé lo difícil que se vuelve la integral)
enfoque diferente utilizando el potencial
Otro enfoque estándar es calcular el potencial a través de
$$ \ vec {V} = \ int_0 ^ a \ frac {\ rho_s} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {1} {| r |} \, db $$
que es mucho más simple. El campo E se puede calcular a través de \ $ \ vec {E} = \ vec {\ nabla} V \ $.
Que yo sepa, esta es la forma estándar de calcular el campo de un cargo de línea.
