¿Puedo obtener ayuda para calcular el ancho de banda de ruido para el circuito a continuación?

Lo que te confunde es lo que estás integrando. Sigue leyendo el libro, hay dos cosas que te estás perdiendo:

1) Lo que tu integras:

Una cosa clave para recordar es que el ruido no viene en una amplitud de voltios o amperios, sino que viene en una potencia de ruido. Para una resistencia (una fuente de ruido blanco) este ruido es:

$$ v_ {n} ^ 2 = \ int_ {0} ^ {\ infty} S_v (f) df = 4kTR $$ las unidades son \ $ \ frac {V} {\ sqrt {Hz}} \ $ o \ $ \ frac {V ^ 2} {Hz} \ $

2) Cómo integrar

Con el ruido es mejor pensarlo gráficamente. Entonces, este es un filtro de paso de banda con una ganancia de 100. El filtro de paso de banda tendrá un paso alto, luego una banda de paso y un paso bajo.

Al final del día, si tuviera una entrada de ruido real en Vin (como un generador de ruido blanco (un generador que tiene una amplitud igual de ruido gaussiano en cada frecuencia - en promedio ) o una resistencia (el ruido térmico es lo mismo que el ruido blanco), vería ruido de banda limitada en un alcance (con una FFT), el ruido comenzaría cerca de cero, luego iría a 100 veces la amplitud a medida que se aproxima a la Primera constante de tiempo del filtro de paso de banda. Luego, mantenga la amplitud hasta 100 veces la segunda constante de tiempo y luego vuelva a bajar cerca de cero después de la segunda constante de tiempo.

Podemos representar estas áreas como áreas y realizar la integración sin integrales y puede dividirlas. No te mostraré todas las matemáticas y te privaré de un aprendizaje valioso.

Aquí está lo que es la integración para la sección de banda de paso :

Mi \ $ | H (f) | ^ 2 = 100 * Vin \ $ (y Vin debe estar en unidades de \ $ \ frac {V} {\ sqrt {Hz}} \ $) y el área de integración es de \ $ \ tau_1 \ $ a \ $ \ tau_2 \ $ pero lo queremos en frecuencia, por lo que usamos el antiguo forola \ $ f_c = \ frac {1} {2 \ pi \ tau} \ $. Otro problema es que no has especificado qué fuente de ruido estás intentando integrar, supongo que Vin. De esta forma, esto le dará las herramientas para encontrar cualquier fuente de ruido.

Si sabemos que la amplitud es constante, H (f) ^ 2 se convierte en 100 * Vin (o cualquiera que sea su fuente de ruido)

$$ \ int_ {f_ {c1}} ^ {f_ {c2}} | H (f) | ^ 2 \; df = \ int_ {f_ {c1}} ^ {f_ {c2}} \; df * 100 * Vin = \ Delta f * 100 * Vin $$

Esto significa que puede resolverlos geométricamente (recuerde que está en un terreno logarítmico con una reducción de 20dB) y los otros dos son triángulos.

Sin embargo, si desea verificar dos veces con una integral \ $ | H (f) | ^ 2 = \ frac {100 * Vin} {1 + RCs} \ $ donde \ $ s = j \ omega \ $ y ( En realidad voy a terminar este tommrow)  $$ \ int_ {0} ^ {f_ {c1}} | H (f) | ^ 2 \; df $$

En primer lugar, parece que tu cálculo de la función de transferencia H (s) es incorrecto.

Encontremos el voltaje en la resistencia R1 . Deje que este voltaje sea Va .

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

\ begin {eqnarray *} \ dfrac {V_ {a}} {V_ {en}} & = & \ dfrac {R {1} || (R_ {2} + \ dfrac {1} {sC})} {(R {1} || (R_ {2} + \ dfrac {1} {sC})) + \ dfrac {1} {sC}} \\ & = & \ dfrac {s (1 + s)} {s ^ 2 + 3s + 1} \ end {eqnarray *}

en donde asumo que $$ R_ {1} = R_ {2} = R = 1M \ Omega $$ $$ C = 1 \ mu F \ hspace {2mm} tal \ hspace {2mm} que \ hspace {2mm } RC = 1 $$

Ahora, Va se amplifica por una ganancia de 100, y luego Vout ocurre a través del condensador final.

\ begin {eqnarray *} \ dfrac {V_ {out}} {V_ {a}} & = & \ dfrac {\ dfrac {100} {sC}} {R_ {2} + \ dfrac {1} {sC}} \\ & = & \ dfrac {100} {1 + s} \ end {eqnarray *}

\ begin {eqnarray *} H (s) = \ dfrac {V_ {out}} {V_ {in}} & = & \ dfrac {100} {1 + s} \ times \ dfrac {s (1 + s)} {s ^ 2 + 3s + 1} & = & \ dfrac {100s} {s ^ 2 + 3s + 1} \ end {eqnarray *}

Pasando al análisis del ancho de banda de ruido. Como mencionó, utilizamos el hecho de que $$ s = j \ omega = j 2 \ pi f $$. H (f) ahora se puede expresar como:

\ begin {eqnarray *} H (f) = \ dfrac {j (200 \ pi f)} {(1-4 \ pi ^ 2 f ^ 2) + j (6 \ pi f)} \ end {eqnarray *}

Tomando la magnitud de esta relación compleja y luego cuadrándola,

\ begin {eqnarray *} | H (f) | ^ 2 & = & \ dfrac {(200 \ pi f) ^ 2} {(1-4 \ pi ^ 2 f ^ 2) ^ 2 + (6 \ pi f) ^ 2} & = & \ dfrac {(200 \ pi f) ^ 2} {16 \ pi ^ 4 f ^ 4 + 28 \ pi ^ 2 f ^ 2 +1} \ end {eqnarray *}

Se puede encontrar Hmax simplemente comparando la primera derivada de H (f) con 0 y luego resolviendo el valor de f que produce Hmax . Sin embargo, dado que esto es bastante laborioso, he tomado la ayuda del motor de conocimiento computacional de Wolfram Alpha para llevar a cabo el cálculo .

En cuanto a la parte relativa a la integral de | H (f) | ^ 2 , puede hacerse mediante fracciones parciales. Una vez más, Wolfram alpha nos dice que 16 pi ^ 4 f ^ 4 + 28 pi ^ 2 f ^ 2 + 1 = 0 puede ser factorizado .

En conclusión, la integral puede ser computado en Wolfram Alpha como ¡Bien para dar una respuesta ordenada de 0.75!

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