Aquí está la función de transferencia:
$$ \ begin {align *}
H_s & = \ frac {1} {\ left (1 + a \: s \ right) ^ 2}
\ end {align *} $$
(NOTA : Es de ayuda para otros saber que esta función de transferencia puede generarse, si \ $ a = \ tau = R \: C \ $, por un paso bajo RC, seguido de un búfer ideal para eliminar los efectos de carga, seguido de un paso bajo RC idéntico. Esto es siempre amortiguado críticamente.)
La solución al Laplace inverso puede buscarse de varias maneras diferentes. Pero la convolución lleva a escribir un poco menos.
$$ \ begin {align *}
\ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {H_s \ right \} & = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {1} {\ left (1 + a \: s \ right) ^ 2} \ right \} \\\\
& = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {1} {a ^ 2 \ left (s + \ frac {1} {a} \ right) ^ 2} \ right \}, \ texto {set} b = \ frac {1} {a} \\\\
& = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {b ^ 2} {\ left (s + b \ right) ^ 2} \ right \} \\\\
& = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {b} {s + b} \ cdot \ frac {b} {s + b} \ right \} \\\\ & & amp ; \ text {set} F_s & = \ frac {b} {s + b} \\\\ & & \ por lo tanto, f_t & = b \: e ^ {\: - b \: t} \\\\
& = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {F_s \: F_s \ right \} \\\\
& = \ left (f * f \ right) _t \\\\
& = \ int_0 ^ t \: b \: e ^ {\: - b \: \ left (tv \ right)} \: b \: e ^ {\: - b \: v} \: \ text { d} v \\\\
& = b ^ 2 \ int_0 ^ t \: e ^ {\: - b \: \ left (tv \ right)} \: e ^ {\: - b \: v} \: \ text {d} v \\\\\
& = b ^ 2 \ int_0 ^ t \: e ^ {\: - b \: t} \: \ text {d} v \\\\
& = b ^ 2 \: e ^ {\: - b \: t} \ int_0 ^ t \: \ text {d} v \\\\
& = b ^ 2 \: t \: e ^ {\: - b \: t} \\\\
& = \ frac {1} {a} \: \ frac {t} {a} \: e ^ \ frac {-t} {a}
\ end {align *} $$
O, usando \ $ \ tau = a \ $,
$$ \ begin {align *}
\ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {1} {\ left (1+ \ tau \: s \ right) ^ 2} \ right \} & =
\ frac {1} {\ tau} \: \ frac {t} {\ tau} \: e ^ \ frac {-t} {\ tau}
\ end {align *} $$
Lo anterior se divide en dos partes, una con unidades (\ $ \ frac {1} {\ tau} \ $) y una que no tiene unidades (\ $ \ frac {t} {\ tau} \: e ^ \ frac {-t} {\ tau} \ $.) Si condimenta el circuito que describí en la nota anterior (RC, búfer, RC) y lo golpeó con un impulso de Dirac (un pico alto y agradable durante un tiempo muy corto) a la constante de tiempo RC), entonces verá exactamente esta salida usando un .TRAN.
El pico debe ocurrir cuando el derivado es 0, o cuando \ $ t = \ tau \ $. Entonces, esto significa que el pico de la curva que muestra Spice debería ser \ $ \ frac {1} {e \: \ tau} \ $. Y obviamente, este pico debería ocurrir en \ $ t = \ tau \ $ en la gráfica de tiempo. (El área en el impulso de Dirac será igual al área debajo de la curva representada en el tiempo).
Vamos a hacerlo. Aquí está el esquema de Spice:
Aquíestálasalida:
Siéntete libre de trazar también la ecuación y ver qué tan bien coinciden.