Transformada de Laplace inversa de doble polo

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Dada la función de transferencia simple de un polo doble:

$$ H (s) = \ frac {1} {(1 + as) ^ 2} = \ frac {1} {1 + s2a + s ^ 2 a ^ 2} = \ frac {1} {1 + s k_1 + s ^ 2 k_2} $$

Su transformada inversa de Laplace es (por ejemplo, [1]):

$$ h (t) = - \ frac {\ cdots} {\ sqrt {k_1 ^ 2 - 4 k_2}} $$

La expresión en la raíz se convierte en cero y, por lo tanto, h (t) indefinida. El sistema es perfectamente estable y legítimo.

Pensé que tal vez hay varias expresiones que van a valores indefinidos, por lo que necesito invocar a l'Hopital. Sin embargo, este no es el caso.

¿Qué me estoy perdiendo?

[1] enlace * k1 +% 2B + s% 5E2 * k2)% 22 & rawformassumption =% 7B% 22F% 22, +% 22InverseLaplaceTransformCalculator% 22, +% 22variable1% 22% 7D + -% 3E% 22s% 22 & rawformassumption =% 7B% 22F% 22, +% 22InverseLaplaceTransformCalculator% 22, +% 22variable2% 22% 7D + -% 3E% 22% =% 7B% 22C% 22, +% 22inverso + laplace + transform% 22% 7D + -% 3E +% 7B% 22Calculator% 22% 7D

    
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2 respuestas

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Aquí está la función de transferencia:

$$ \ begin {align *} H_s & = \ frac {1} {\ left (1 + a \: s \ right) ^ 2} \ end {align *} $$

(NOTA : Es de ayuda para otros saber que esta función de transferencia puede generarse, si \ $ a = \ tau = R \: C \ $, por un paso bajo RC, seguido de un búfer ideal para eliminar los efectos de carga, seguido de un paso bajo RC idéntico. Esto es siempre amortiguado críticamente.)

La solución al Laplace inverso puede buscarse de varias maneras diferentes. Pero la convolución lleva a escribir un poco menos.

$$ \ begin {align *} \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {H_s \ right \} & = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {1} {\ left (1 + a \: s \ right) ^ 2} \ right \} \\\\ & = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {1} {a ^ 2 \ left (s + \ frac {1} {a} \ right) ^ 2} \ right \}, \ texto {set} b = \ frac {1} {a} \\\\ & = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {b ^ 2} {\ left (s + b \ right) ^ 2} \ right \} \\\\ & = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {b} {s + b} \ cdot \ frac {b} {s + b} \ right \} \\\\ & & amp ; \ text {set} F_s & = \ frac {b} {s + b} \\\\ & & \ por lo tanto, f_t & = b \: e ^ {\: - b \: t} \\\\ & = \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {F_s \: F_s \ right \} \\\\ & = \ left (f * f \ right) _t \\\\ & = \ int_0 ^ t \: b \: e ^ {\: - b \: \ left (tv \ right)} \: b \: e ^ {\: - b \: v} \: \ text { d} v \\\\ & = b ^ 2 \ int_0 ^ t \: e ^ {\: - b \: \ left (tv \ right)} \: e ^ {\: - b \: v} \: \ text {d} v \\\\\ & = b ^ 2 \ int_0 ^ t \: e ^ {\: - b \: t} \: \ text {d} v \\\\ & = b ^ 2 \: e ^ {\: - b \: t} \ int_0 ^ t \: \ text {d} v \\\\ & = b ^ 2 \: t \: e ^ {\: - b \: t} \\\\ & = \ frac {1} {a} \: \ frac {t} {a} \: e ^ \ frac {-t} {a} \ end {align *} $$

O, usando \ $ \ tau = a \ $,

$$ \ begin {align *} \ mathscr {L} ^ {- 1} \ left \ {\ frac {1} {\ left (1+ \ tau \: s \ right) ^ 2} \ right \} & = \ frac {1} {\ tau} \: \ frac {t} {\ tau} \: e ^ \ frac {-t} {\ tau} \ end {align *} $$

Lo anterior se divide en dos partes, una con unidades (\ $ \ frac {1} {\ tau} \ $) y una que no tiene unidades (\ $ \ frac {t} {\ tau} \: e ^ \ frac {-t} {\ tau} \ $.) Si condimenta el circuito que describí en la nota anterior (RC, búfer, RC) y lo golpeó con un impulso de Dirac (un pico alto y agradable durante un tiempo muy corto) a la constante de tiempo RC), entonces verá exactamente esta salida usando un .TRAN.

El pico debe ocurrir cuando el derivado es 0, o cuando \ $ t = \ tau \ $. Entonces, esto significa que el pico de la curva que muestra Spice debería ser \ $ \ frac {1} {e \: \ tau} \ $. Y obviamente, este pico debería ocurrir en \ $ t = \ tau \ $ en la gráfica de tiempo. (El área en el impulso de Dirac será igual al área debajo de la curva representada en el tiempo).

Vamos a hacerlo. Aquí está el esquema de Spice:

Aquíestálasalida:

Siéntete libre de trazar también la ecuación y ver qué tan bien coinciden.

    
respondido por el jonk
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Recuerde que existen tres condiciones para un sistema de 2º orden: saturado, amortiguado críticamente y menos amortiguado, lo que significa que el denominador tiene tres resultados posibles:

  1. saturada: significa 4 * k 2 < k1 2 = > la respuesta al impulso tiene un término sinh (), por lo tanto de la forma exp (-t) * sinh (t);

  2. amortiguado crítico - 4 * k 2 = k1 2 = > la respuesta al impulso solo tiene un término exp (-t), mientras que el denominador también se simplifica a 2 * k 2 ;

  3. underdamped - 4 * k 2 > k1 2 = > la respuesta al impulso tiene la forma exp (-t) * sin (t);

Podría escribir las expresiones directas, pero eso sería robarte la diversión.

    
respondido por el a concerned citizen

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