Determine el valor de una constante para la cual el sistema es marginalmente estable

Supongo que la forma más sencilla de asegurarse de que las raíces estén ubicadas correctamente es:

Un polinomio con una raíz real y 2 raíces imaginarias generalmente tiene el siguiente aspecto:

$$ A \ cdot (s + a) \ cdot (s ^ 2 + b) $$

Esto debe coincidir con el denominador, por lo que

$$ \ begin {align} 10 \ cdot (s + a) \ cdot (s ^ 2 + b) & = 10 \ cdot s ^ 3 + (10a) \ cdot s ^ 2 + (10b) \ cdot s + (10 \ cdot a \ cdot b) \\ & = 10 \ cdot s ^ 3 + 1.1 \ cdot s ^ 2 + 0.01 \ cdot s + 2K \ end {align} $$

De esto se deduce inmediatamente que

$$ \ begin {align} a & = \ frac {1.1} {10} = 0.11 \\ b & = \ frac {0.01} {10} = 0.001 \\ K & = \ frac {10 \ cdot a \ cdot b} {2} = \ frac {0.11 \ cdot 0.001} {2} = 55 \ cdot 10 ^ {- 5} \ end {align} $$

En el caso de un denominador CLTF de 3er orden: \ $ \ small as ^ 3 + bs ^ 2 + cs + d \ $ , la estabilidad crítica se obtiene cuando \ $ \ small bc = ad \ $ . La inestabilidad se produce cuando \ $ \ small bc < ad \ $ ; y un sistema estable tiene \ $ \ small bc > ad \ $ .

En la estabilidad crítica, el denominador debe factorizarse en \ $ \ small a (s ^ 2 + \ omega ^ 2) (s + \ alpha) \ $ , ya que allí debe ser un término sinusoidal constante (no en descomposición). Por inspección, la frecuencia de esta sinusoide es: \ $ \ small \ omega = \ sqrt {\ frac {c} {a}} \: \ $ rad / sec .

Para su sistema, \ $ \ small 20K = 1.1 \ times 10 ^ {- 2} \ $ , dando \ $ \ small K = 5.5 \ times 10 ^ {- 4} \ $