Cálculo de la impedancia de entrada de la red de 3 puertos

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Estoy tratando de derivar una expresión para calcular la impedancia de entrada de una red de 3 puertos para usarla como código de cálculo directo y evitar la solución SPICE / simulador de la misma.

Puedo resolver la impedancia de entrada de un sistema de 2 puertos con una carga, \ $ Z_ {load} \ $ , conectado al puerto 2. La impedancia la búsqueda en el puerto 1 sería (resolviendo la teoría básica de 2 puertos):

$$ Z_ {in} = Z_ {11} - \ frac {Z_ {21} Z_ {12}} {Z_ {22} + Z_ {cargar}} $$

Si tengo una red de 3 puertos con 2 puertos conectados a diferentes cargas, \ $ Z_ {load1} \ $ y \ $ Z_ {load2} \ $ , ¿cómo puedo generar una expresión para \ $ Z_ {in} \ $ mirando desde el puerto 1 a partir de solo la matriz Z, \ $ Z_ {load1} \ $ y \ $ Z_ {load2} \ $ ?

    
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El puerto 3 se puede describir en 3 ecuaciones, utilizando

$$ \ left (\ begin {matrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \ end {matrix} \ right) = \ left (\ begin {matrix} Z_ {11} & Z_ {12} & Z_ {13} \\ Z_ {21} & Z_ {22} & Z_ {23} \\ Z_ {31} & Z_ {32} & Z_ {33} \ end {matrix} \ right) \ left (\ begin {matrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \ end {matrix} \ right) $$

Ahora cargaré los puertos 1 y 2, mientras uso el puerto 3 como entrada. Añadir dos cargas agrega dos nuevas ecuaciones

$$ \ begin {align} V_1 & = -Z_ {L1} \ cdot I_1 \\ V_2 & = -Z_ {L2} \ cdot I_2 \ end {align} $$

Esto se puede insertar en la notación matricial:

$$ \ left (\ begin {matrix} Z_ {11} & Z_ {12} & Z_ {13} \\ Z_ {21} & Z_ {22} & Z_ {23} \\ Z_ {31} & Z_ {32} & Z_ {33} \ end {matrix} \ right) \ left (\ begin {matrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \ end {matrix} \ right) = \ left (\ begin {matrix} -Z_ {L1} \ cdot I_1 \\ -Z_ {L2} \ cdot I_2 \\ V_3 \ end {matrix} \ right) $$

Que es lo mismo que

$$ \ left (\ begin {matrix} Z_ {11} + Z_ {L1} & Z_ {12} & Z_ {13} \\ Z_ {21} & Z_ {22} + Z_ {L2} & Z_ {23} \\ Z_ {31} & Z_ {32} & Z_ {33} \ end {matrix} \ right) \ left (\ begin {matrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \ end {matrix} \ right) = \ left (\ begin {matrix} 0 \\ 0 \\ V_3 \ end {matrix} \ right) $$

Ya que queremos resolver para \ $ Z_ {in} = \ frac {V_3} {I_3} \ $ , podemos usar la regla de Cramer para encontrar

$$ I_3 = \ frac {\ left | \ begin {matrix} Z_ {11} + Z_ {L1} & Z_ {12} & 0 \\ Z_ {21} & Z_ {22} + Z_ {L_2} & 0 \\ Z_ {31} & Z_ {32} & V_3 \ end {matrix} \ right |} {\ left | \ begin {matrix} Z_ {11} + Z_ {L1} & Z_ {12} & Z_ {13} \\ Z_ {21} & Z_ {22} + Z_ {L2} & Z_ {23} \\ Z_ {31} & Z_ {32} & Z_ {33} \ end {matrix} \ right |} \ $$

O también

$$ Z_ {in} = \ frac {V_3} {I_3} = \ frac {\ left | \ begin {matrix} Z_ {11} + Z_ {L1} & Z_ {12} & Z_ {13} \\ Z_ {21} & Z_ {22} + Z_ {L2} & Z_ {23} \\ Z_ {31} & Z_ {32} & Z_ {33} \ end {matrix} \ right |} {\ left | \ begin {matrix} Z_ {11} + Z_ {L1} & Z_ {12} & 0 \\ Z_ {21} & Z_ {22} + Z_ {L_2} & 0 \\ Z_ {31} & Z_ {32} & 1 \ end {matrix} \ right |} $$

    
respondido por el Sven B

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