Mi libro dice que cuando se usa el análisis nodal para encontrar los voltajes y las corrientes en los circuitos resistivos, la matriz resultante (del sistema de ecuaciones) siempre es simétrica. ¿Por qué?
La cita exacta es:
Las ecuaciones de nodo para redes que contienen solo resistencias y corriente independiente las fuentes siempre se pueden escribir en esta forma simétrica
También los elementos diagonales son siempre positivos y los fuera de diagnóstico son siempre negativos. ¿Por qué?
Una resistencia de R ohms entre A y B se mostrará en la matriz como
+1/R -1/R
-1/R +1/R
Las filas representan el voltaje en A y B; las columnas representan la corriente neta en los nodos A y B.
Las columnas deben ser iguales y opuestas porque la corriente que fluye en un nodo de la resistencia debe ser igual y opuesta a la corriente que fluye hacia afuera del otro nodo. Los dos números en cada columna deben ser iguales y opuestos porque la corriente solo debe fluir en la resistencia en respuesta a una diferencia de voltaje entre los dos nodos. El valor de la celda superior izquierda es 1 / R porque un aumento en el voltaje de A de 1 voltio debería aumentar la corriente que fluye en A en 1 / R.
La simetría se desprende de una propiedad llamada Reciprocidad de las redes de resistencia lineal .
Los signos opuestos de las entradas diagonales y fuera de la diagonal no cero en la matriz se desprenden de laplaciano discreto asociado con la combinación de una relación constitutiva lineal (ley de Ohm) con una ley de conservación (ley de kirchoff). Los laplacianos son siempre simétricos positivos definidos.
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