Parece que cometí un error en la manipulación de variables, por eso no obtuve la misma fórmula que en el libro. Pensé que necesitaba encontrar derivadas parciales, pero resulta que el álgebra es todo lo que se necesita. Solo colocaré las primeras ecuaciones de la derivación si alguien más quiere saber ya que es un poco largo.
Para una configuración de polarización de emisor:
$$ V_ {CC} - \ frac {I_C} {\ beta} R_B - V_ {BE} - \ frac {\ beta + 1} {\ beta} I_C R_E = 0 $$
$$ I_C = \ frac {\ beta (V_ {CC} - V_ {BE})} {R_B + (\ beta + 1) R_E} \ tag1 $$
Dado que \ $ s '' = \ frac {\ Delta I_C} {\ Delta \ beta} \ $, calcular \ $ \ Delta I_C = I_ {C_2} - I_ {C_1} \ $:
$$ \ Delta I_C = I_ {C_2} - I_ {C_1} = \ frac {\ beta_2 (V_ {CC} - V_ {BE})} {R_B + (\ beta_2 + 1) R_E} - \ frac {\ beta_1 ( V_ {CC} - V_ {BE})} {R_B + (\ beta_1 + 1) R_E} $$
Simplificando (mucho) y luego utilizando eq. 1 y luego dividiendo \ $ \ Delta I_C \ $ por \ $ \ Delta \ beta \ $ obtendrá la fórmula:
$$ s '' = \ frac {I_ {C_1} (R_B + R_E)} {\ beta_1 (R_B + (\ beta_2 + 1) R_E)} $$