El símbolo del amplificador operacional a veces puede desviar a una persona como, creo, tiene en este caso.
Recuerde que la salida de un amplificador operacional ideal es una fuente ideal de voltaje controlado por voltaje , lo que significa que la salida generará o reducirá cualquier cantidad de corriente .
Rediseñemos el circuito reemplazando el amplificador operacional con un modelo de amplificador ideal:
simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab
Por división de voltaje y superposición, escribimos
$$ V_- = V_i \ frac {R_2} {R_1 + R_2} + V_o \ frac {R_1} {R_1 + R_2} $$
Pero, por inspección
$$ V_o = A (V_ + - V_-) = -AV _- $$
por lo tanto
$$ V_o = - \ frac {R_2} {R_1 + \ frac {R_1 + R_2} {A}} V_i $$
Para un amplificador operacional ideal, \ $ A \ rightarrow \ infty \ $ so
$$ V_o = - \ frac {R_2} {R_1} V_i $$
Ahora, este no es el método típico para resolver problemas de amplificadores operacionales. Sin embargo, espero que esto te dé una idea de por qué tus ecuaciones iniciales son incorrectas.