Respuesta de impulso de un circuito

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La siguiente función periódica, \ $ x (t) \ $, es la entrada a un sistema lineal, invariante en el tiempo La respuesta al impulso de este sistema es $$ h (t) = \ frac {\ sin t} {t} $$ que convertí a $$ H (\ mathrm {i} \ omega) = \ pi \, \ mathrm {rect} \ bigl (\ frac {\ omega} {2} \ bigr). $$ Quiero determinar una expresión explícita para la salida \ $ y (t) \ $. He determinado que el período \ $ T_0 = 3 \ $ y \ $ \ omega_0 = 2 \ pi / 3 \ $. Sé que las ecuaciones para la transformada de la serie de Fourier es $$ x (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty C_n \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} nt} $$ y similarmente tengo $$ y (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty D_n \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} nt} $$ donde \ $ D_n = H (\ mathrm {i} n \ omega_0) C_n \ $ pero no No sé cómo proceder.

    
pregunta Jonathan

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Tenga en cuenta que sin (t) / t es una función llamada "sinc". Convolving con un sinc produce algunas propiedades muy especiales. Estos son los mejores para considerar en el dominio de la frecuencia. Busque algo llamado "dual".

Debes pasar por las matemáticas una vez, pero un sinc y su dual es algo que debes recordar directamente. Una vez más, ve a ver esto. Vale la pena saberlos sin tener que hacer los cálculos cada vez.

En este caso, la convolución de un sinc produce una característica de frecuencia especial. Sin embargo, debido a cómo funcionan los duales, esta otra función en el dominio de tiempo da como resultado un dominio sinc en la frecuencia. Una vez más, este es un par que realmente vale la pena conocer.

    
respondido por el Olin Lathrop
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Primero, rehaga tus cálculos - FT de sin (t) / t no es π rect (ω / 2). Es 1 / sqrt (2π) * rect (ω / 2π).

Bien, entonces su sistema LTI es un sistema de paso bajo con frecuencia de corte 2π rad / s, ¿verdad? Por lo tanto, todas las frecuencias superiores a 2π rad / s de su entrada se eliminarán en la salida. La frecuencia de la base de la señal de entrada es 2π / 3 rad / s, el primer armónico es 4π / 3 rad / s y el segundo armónico 6π / 3 rad / s. Se eliminarán todos los componentes de mayor frecuencia.

Ahora, necesita saber que para las frecuencias 2π / 3 y 4π / 3 rad / s, la atenuación del filtro es 1 / sqrt (2π) mientras que para 6π / 3 rad / s es 0.5 / sqrt (2π). Lo que hay que hacer es encontrar los celadores de Fourier para estos tres componentes y multiplicarlos con estos factores y, por lo tanto, incluir la fase para cada uno de ellos. La salida es una suma de todos ellos.

y = 1 / sqrt (2π) * C1 sen (2π / 3 t + Phi1) + 1 / sqrt (2π) * C2 sen (4π / 3 t + Phi2) + 0.5 / sqrt (2π) * C3 sen (2π / 3 t + Phi2).

    
respondido por el Roker Pivic

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