Tengo la siguiente señal:
$$ x [n] = X \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (\ delta [n - 4k] + \ delta [n - 4k - 1] - \ delta [n - 4k - 2] - \ delta [n - 4k - 3]) $$
El período fundamental de esta señal es \ $ 4 \ $. ¿Es esto simplemente por el factor delante de \ $ k \ $? En segundo lugar, si tuviera que dibujar la señal durante 1 período, tendría el valor de \ $ x [0] = \ delta [0] + \ delta [-1] - \ delta [-2] - \ delta [-3] PS ¿O tendría que tomar en consideración el valor de k?
Está bien, vamos con la definición de periodicidad:
\ begin {equation *} x [n] = x [n + T] \ end {ecuación *}
que a su vez produce:
\ begin {eqnarray *} x [n + T] = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (\ delta [n + T-4k] + \ delta [n + T-4k-1] - \ delta [n + T-4k-2] - \ delta [n + T-4k-3]) \\ = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (\ delta [n- (4k-T) ] + \ delta [n- (4k + 1-T] - \ delta [n- (4k + 2-T)] - \ delta [n- (4k + 3-T)]) \ end {eqnarray *}
En la inspección, si permitimos T = 4,
\ begin {eqnarray *} x [n + 4] = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (\ delta [n- (4k-4)] + \ delta [n- (4k + 1-4] - \ delta [n- (4k + 2-4)] - \ delta [n- (4k + 3-4)]) \\ = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (\ delta [ n-4 (k-1)] + \ delta [n- (4k-3)] - \ delta [n- (4k-2)] - \ delta [n- (4k-1)]) \ end {eqnarray *}
Ahora vamos a k-1 = m o m = k + 1 . Tenga en cuenta que los límites en m siguen siendo los mismos:
\ begin {eqnarray *} x [n + 4] = \ sum \ limits_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} (\ delta [n-4m] + \ delta [n-4m-1)] - \ delta [n-4m- 2] - \ delta [n-4m-3)]) \\ = x [n] \ end {eqnarray *}
Esto explica por qué el período de x [n] es 4. Naturalmente, el período está directamente relacionado con el coeficiente de k, como se puede ver en las ecuaciones anteriores.
En cuanto a x [0], n toma el valor de 0, pero k continúa desde el infinito hasta el infinito.
\ begin {equation *} x [0] = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (\ delta [-4k] + \ delta [-4k-1] - \ delta [-4k-2] - \ delta [ -4k-3]) \ end {ecuación *}