Aclaración de la ley de inducción de Faraday - Cambio de área con el tiempo

Navega tus respuestas
1

Estoy revisando las ecuaciones de Maxwell con la esperanza de dominarlas mucho mejor que yo cuando estaba en el banco de la escuela.

La Ley de inducción de Faraday me deja con una pregunta que no puedo entender.

Las primeras leyes de Lenz establecen que la relación de EMF con el flujo de magnetix es: $$ EMF = - \ frac {d \ Phi_B} {{dt}} $$

Luego, el flujo de magentix \ $ \ Phi_B \ $ vendría dado por la integral de área de la densidad de flujo.

$$ \ Phi_B = \ iint_S B \ cdot dS $$

Bueno, ahora Wikipedia afirma que la ley de inducción de Faraday es la siguiente.

$$ \ oint_ \ Sigma {E \ cdot d \ ell} = - \ int_ \ Sigma {\ frac {\ partial B} {{\ partial t}} \ cdot dA} $$

Lo que me confunde es que el derivado de flujo está dentro de la integral de superficie. Una simple sustitución de la variable de flujo en las dos primeras ecuaciones haría que la derivada del flujo fuera de la integral de área.

Sé que puedo sacar la derivada de tiempo de la integral de superficie si dA es constante, esto es puramente matemático. Aunque, como entiendo la ecuación de Faraday tal como se presenta anteriormente, un cambio en el área con el tiempo no afectará a la EMF.

Por otra parte, una de las demostraciones en línea del profesor Walter Lewins explica el caso de una barra de cobre deslizante en un circuito que induce EMF en un circuito cerrado a medida que el área crece para un campo magnético constante.

Si hacemos este ejercicio con un campo constante B=10 y un área que cambia, entiendo que obtendríamos: $$ EMF = \ oint_ \ Sigma {E \ cdot d \ ell} = - \ int_ \ Sigma {\ frac {\ partial 10} {{\ partial t}} \ cdot dA (t)} = - \ int_ \ Sigma {0 \ cdot dA (t)} = 0 $$ ¿Estoy equivocado?

¿Qué me estoy perdiendo aquí?

Gracias

    
pregunta Pier-Yves Lessard

1 respuesta

3
  

Lo que me confunde es que el derivado de flujo está dentro de la superficie   integral.

La derivada parcial dentro de la integral proviene de la Regla Integral de Leibniz (detallada a continuación).

Considere la forma generalizada de la ecuación de Maxwell-Faraday:

$$ \ oint E \ cdot d \ ell = - \ int_ \ Sigma \ frac {\ partial B} {\ partial t} \ cdot dA $$

Esto es cierto para cualquier ruta \ $ \ partial \ Sigma \ $, que es cualquier límite de contorno cerrado de la superficie \ $ \ Sigma \ $.

Ahora recuerde la forma generalizada de la Regla Integral de Leibniz:

$$ \ frac {d} {dt} \ int ^ {a (x)} _ {b (x)} f (x, t) \ dt = f (x, b (x)) \ \ frac {d} {dt} b (x) - f (x, a (x)) \  \ frac {d} {dt} a (x) + \ int ^ {a (x)} _ {b (x)} \ frac {\ parcial} {\ parcial t} f (x, t) \ dt $$

¿Notaste que los límites de la integral anterior no son constantes?

El término del lado derecho de la Ecuación de Maxwell-Faraday generalizada es una integral de superficie (y, por supuesto, la integral alrededor de \ $ \ partial \ Sigma \ $ es una integral de línea) y la derivada parcial dentro de esta integral indica que cualquier \ $ \ partial \ Sigma \ $ path depende del tiempo . Es por eso que escribimos la ecuación de Maxwell-Faraday en forma generalizada porque no podemos garantizar que cualquier \ $ \ partial \ Sigma \ $ sea constante.

Ahora veamos la Regla de Leibniz nuevamente cuando los límites son constantes . Los dos primeros términos del lado derecho se convierten en cero y la integral adopta su propia forma especial:

$$ \ frac {d} {dt} \ int ^ {a} _ {b} f (x, t) \ dt = \ int ^ {a} _ {b} \ frac {\ partial} {\ parcial t} f (x, t) \ dt $$

A partir de esto, podemos llegar a una conclusión: Si la ruta \ $ \ partial \ Sigma \ $, que limita la superficie \ $ \ Sigma \ $, no cambia con el tiempo , Maxwell- La ecuación de Faraday se convierte en:

$$ \ oint E \ cdot d \ ell = - \ frac {d} {dt} \ int_ \ Sigma B \ cdot dA $$

NOTA: Escribí la Regla Integral de Leibniz para una sola dimensión e hice explicaciones sobre ella para simplificar las cosas, pero lo mismo se aplica para las dimensiones más altas.

    
respondido por el Rohat Kılıç

Lea otras preguntas en las etiquetas

El voltaje entre las placas de un capacitor Kicad Arduino Schematics?