Circuito de CA que tiene solo condensador

  

¿En qué me equivoco?

Lamento decirte que estás equivocado de extremo a extremo. Te estás perdiendo todo el punto del análisis (la redacción del libro tampoco ayuda).

"P.D. a través de las placas de condensadores = FEM aplicado" es solo una forma elegante (y confusa para cualquier novato) de decir "Apliquemos un voltaje de CA al capacitor y veamos qué sucede entonces con otras magnitudes como la corriente a través de él". Es decir:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Poner las cosas de esta manera hace que sea fácil responder a esta pregunta tuya:

  

[...], ¿cómo puede ser cierto que la declaración dada (1) es verdadera en cualquier momento?

Bueno, es cierto porque estamos obligando a que sea así para que podamos ver qué pasa entonces con la corriente a través del condensador.

El siguiente paso es encontrar cómo V y yo estamos relacionados. Se podría esperar que si forzamos que el potencial entre las placas de los condensadores varíe con el tiempo, entonces la corriente a través del condensador tendrá un comportamiento similar.

Recordamos, al igual que el libro, que:

$$ Q = CV $$

y

$$ I = \ dfrac {dQ} {dt} $$

Así que con la ayuda de un poco de matemáticas, finalmente llegamos a:

$$ I = {\ omega} {C} {\ xi_0} \ sin ({\ omega} t + \ frac {\ pi} 2) $$

Lo que, en un sentido matemático , significa que la corriente también es sinusoidal y que hay una diferencia de fase \ $ \ dfrac {\ pi} 2 \ $ entre V y I.

Sinembargo,¿quésignificaenunsentidofísico?Bueno,dealgunamanera,tuintuiciónnofuemaladespuésdetodo:

  

lacorrientees0enπ/2yenmúltiplosimparesdeπ/2,dondelaFEMaplicadacorrespondeasuvalormáximo.Porlotanto,elcapacitorsecargacompletamenteenestoscasos

Esoestodo!Cuandoelcondensadorestácompletamentecargado,nofluyecorrientehaciaél.Cuandoestácompletamentedescargada,lacorrientemáximafluyehaciaellaparacargarla.YelcondensadoroscilaatravésdeesosestadostodoeltiempomientrasseguimosaplicándoleunvoltajedeCA.

EDIT:

Despuésdeleertucomentarioamirespuesta,entiendodóndeestátuproblema:tuenfoquematemáticoesdefectuoso.

Ustedmiraelvalorinstantáneode\$V\$ypiensaquepuedetomarunintervalodetiempo\${\Delta}t\$losuficientementepequeñoparaque\$V\$puedaseconsideraráconstante,esdecir,\${\Delta}V{\approx}0\$.LuegoasimilaestasituaciónconDC(locualtambiénesincorrectoporqueenDCsecargaelcondensadoratravésdeunaresistencia,queestáausenteaquí)ysededucequesi\${\Delta}V=0\$entonces\$I=0\$Asíquenohayflujosdecorriente.Luego,extrapolaesadeducciónacada\$t\$posibleyconcluyequenofluyecorrienteenabsolutoyqueelcondensadordebeestarcompletamentecargadoentodomomentoalvalormáximodelEMFaplicado.

Bueno,estoesmatemáticamenteincorrectoporvariasrazones:

1. Siestátratandoconintervalos,aplíquelosalasTODASimplicadas.Sudefectoresideenconsiderar\$I=0\$cuandodeberíaconsiderar\${\Delta}I=0\$(loquetampocoescierto,continúeleyendoparaverporqué).

2. Cuandovealoquesucedealrededordeuntiempoarbitrario\$t_1\$,su\${\Delta}t\$esunincrementodeese\$t_1\$.Lomismoocurrecon\$V\$y\$I\$:su\${\Delta}V\$seráunincrementode\$V_1=V(t_1)\$,y\${\Delta}I\$seráunincrementode\$I_1=I(t_1)\$.Pienseen\$V_1\$y\$I_1\$comocondicionesinicialesaliniciodelintervalo\${\Delta}t\$.Esincorrectosuponerque\$V_1\$y\$I_1\$sonigualesacero.Además,eserróneopensaren\${\Delta}V\$comoladiferenciaentreelEMFaplicadoyelvoltajeenelcapacitor.Comosehadicho,nohaydiferenciaentreelEMFaplicadoyelvoltajeenelcapacitor,simplementeseobligaaserigual.

3. Paraintervalosmuypequeñosde\${\Delta}t\$,tendrá\${\Delta}V{\approx}0\$y\${\Delta}I{\approx}0\$.Peroesonosignificaenabsolutoquelaconcatenacióndelosintervalosdetiempodonde\${\Delta}I{\approx}0\$producirá\$I=0\$ydeallíseconcluyeque"no hay flujos de corriente, por lo que el condensador debe cargarse y \ $ V \ $ debe ser constante ". Es un error pensar así. Cálculo diferencial y Cálculo infinitesimal nos dice cómo manejar las cosas cuando \ $ {\ Delta} t {\ rightarrow} 0 \ $. Y alguien más inteligente que tú y yo ya los usamos para trabajar en ello para que podamos desarrollarlo:

$$ I = \ dfrac {dQ} {dt} $$

El P.D. = \ $ \ xi (t) \ $ es una definición por lo que siempre es verdadera.

Se supone que el voltaje es una función sinusoidal del tiempo (y de estado estable), por lo que físicamente algo (como una salida del generador de funciones) está forzando que ese voltaje a través del condensador sea \ $ \ xi (t) \ $ = \ $ \ xi_0 \ sin (\ omega t) \ $.

Derivan la corriente del condensador en función de la tensión aplicada.

La corriente en el capacitor es proporcional a la tasa de cambio de voltaje a través de él (proporcional a la rapidez con que cambia el voltaje a través del capacitor). Cuanto más rápido sea el cambio de voltaje (la frecuencia de una señal de CA es alta), mayor será el flujo de corriente a través del capacitor.

$$ I = C * \ frac {dV} {dt} $$

Esto significa que para mantener la corriente a través de un condensador, la tensión aplicada debe cambiar. Cuanto más rápidamente cambia la tensión, mayor es la corriente. Por otro lado, si el voltaje se mantiene constante, no fluirá la corriente sin importar cuán grande sea el voltaje. Del mismo modo, si se encuentra que la corriente a través de un capacitor es cero, esto significa que la tensión a través de él debe ser constante, no necesariamente cero.

Elcasoespecialescuandoelvoltajedeentradadevoltajeesunaondasinusoidal.Paralaondasinusoidal,latasadecambiodevoltaje(\$\frac{dV}{dt}\$)alcanzaelmáximocuandolaseñaldevoltajecruzaacero.Ylatasadecambiodevoltajealcanzaelmínimocuandoelvoltajeestáenunvalormáximo.

Estaeslarazónporlacuallacorrientealcanza\$0A\$porqueenelpicolatasadecambioes\$\frac{dV}{dt}=0\$ycuandounaentradadeondasinusoidalcruzaa0,latasadecambioesenmax\$\frac{dV}{dt}=A_{peak}2\pif\$.

Porejemplo,para\$A=1V\$y\$f=50Hz;C=1\muF\$

Lapendientemásaltadelaseñales\$\frac{dV}{dt}=A_{peak}2\pif=1V*6.28*50Hz=314V/s\$porloquelosvaloresdecorrientemáximadelcapacitorson

\$I=C*\frac{dV}{dt}=1\muF*314\frac{V}{s}=0.314mA\$

Yestediagramaintentamostrarlasfasesdecargaydescargaparaunvoltajedeentradadeondasinusoidal.

Todo este análisis asume una situación de estado estable (el circuito está ENCENDIDO por un tiempo muy largo).