Escuché en alguna parte que la transformada de Fourier solo funciona en una señal que contiene partes que son armónicas entre sí (es decir, f, 2f, 3f, etc.).
¿Puede alguien explicarme sobre la prueba de esto? O si me equivoco, ¿cuál es la condición suficiente para la transformación de Fourier?
En algún lugar escuché que la transformada de Fourier solo funciona con una señal de que contiene partes que son armónicas entre sí (es decir, f, 2f, 3f, etc.).
No. Lo que diga implicaría que la señal debe ser periódica, y eso no es cierto. La transformada de Fourier se puede calcular para cualquier señal, periódica o no, con energía finita o incluso con potencia finita. En el último caso (de poder finito), la transformación, en la mayoría de los casos, será ilimitada.
Lo que dices es correcto para la serie de Fourier, no para la transformada de Fourier. La descomposición de la serie de Fourier se define solo para señales periódicas. El espectro de una señal periódica podrá tener contenido solo en \ $ f_0 \ $, \ $ 2f_0 \ $, \ $ 3f_0 \ $, etc. Eso no significa que siempre tendrá contenido en all esas frecuencias. Significa que no puede tener contenidos fuera de ese conjunto de frecuencias.
¿Puede alguien explicarme sobre la prueba de esto?
Eso no estaba bien, por lo que no se puede probar.
¿Cuál es la condición suficiente para la transformada de Fourier?
No hay " la condición suficiente". Hay varias condiciones suficientes.
Por ejemplo, una condición suficiente es que cumple con ambas condiciones de Dirichlet:
1) En cualquier intervalo de tiempo de longitud finita, la función w (t) tiene un solo valor con un número finito de máximos y mínimos, y el número de discontinuidades (si corresponde) es finito.
2) w (t) es absolutamente integrable.
Esa condición es suficiente, pero no es necesaria.
Una condición suficiente más débil para la existencia de la transformada de Fourier es que la señal tiene energía finita. Todas las formas de onda físicamente realizables son de energía finita, lo que significa que todas las formas de onda físicas encontradas en la práctica de ingeniería son transformables por Fourier. Sin embargo, eso es tener una transformada de Fourier con valores limitados. Si se permite trabajar con valores ilimitados, también puede calcular la transformada de Fourier de una señal que tiene un poder finito (que es un requisito menos estricto). Por ejemplo, un pecado (\ $ 2 \ pi f_0 · t \ $) que existe para todos t tiene poder finito, pero no energía finita. Puede calcular la transformada de Fourier de dicha señal, pero tendrá valores ilimitados (de hecho, "deltas") en \ $ f_0 \ $ y \ $ - f_0 \ $.