Voltaje en el dominio del fasor

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Dado el siguiente circuito (en régimen) tengo que calcular el voltaje \ $ v_u (t) \ $, al saber eso.

\ $ I_0 = 3 \ $ mA, \ $ I_s (t) = I_m sin (2 \ pi ft) \ $, \ $ I_m = 2 \ $ mA, \ $ f = 1 \ $ kHz, \ $ R = 1 \ $ k \ $ \ Omega \ $, \ $ C = 100 \ $ nF.

simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab

Lo resolví con el principio de posición: \ $ v_u (t) = v_u '+ v_u' '= v_ {u _ {\ Big | I_0}} + v_ {u _ {\ Big | I_s}} \ $

  • \ $ v_ {u _ {\ Big | I_0}} = I_0 \ frac {R} {1 / (j \ omega C) + R} \ cdot \ frac {1} {j \ omega C} = I_0 \ frac {1 / (j \ omega C)} {1 / (j \ omega C) + R} \ cdot R = Z \ cdot I_0 \ $, donde \ $ Z = \ frac {R \ cdot 1 / (j \ omega C)} {R + 1 / (j \ omega C)} = \ frac {R} {j \ omega RC + 1} \ $

  • \ $ v_ {u _ {\ Big | I_s}} = I_s \ frac {R} {1 / (j \ omega C) + R} \ cdot \ frac {1} {j \ omega C} = I_s \ frac {1 / (j \ omega C)} {1 / (j \ omega C) + R} \ cdot R = Z \ cdot I_s \ $, donde \ $ I_S = I_m \ $ (asumiendo la fase de \ $ I_s \ $ como fase de referencia).

Por lo tanto, la fase tomada como referencia es \ $ \ angle I_s = \ angle sin (2 \ pi ft) = \ angle cos (2 \ pi ft - \ frac {\ pi} {2}) = - \ frac { \ pi} {2} \ $

\ $ Z = | Z | e ^ {j \ angle Z} \ $, \ $ | Z | = | R | / | 1 + j \ omega RC | = ... = 846.73 \ Omega \ $, \ $ \ angle Z = \ angle R - \ angle (1 + j \ omega RC) = - arctan (\ omega RC) = - arctan (2 \ pi fRC) = 0.561 \ $ rad

Al sustituir los valores, obtengo: \ $ v_u (t) = (3 + 2) Z = 5 \ cdot 1.69 sin (\ omega t - 0.561) \ $ V, (s, rad)

Luego, si calculo el módulo y la fase, puedo escribir \ $ v_u (t) \ $ como algo similar a \ $ v_u (t) = A \ cdot cos (\ omega t + \ phi) \ $

¿Es correcto todo el proceso?

En una cosa no estoy tan seguro: mi libro calcula \ $ v_ {u _ {\ Big | I_0}} = R I_0 \ $. ¿Por qué?

    
pregunta sl34x

1 respuesta

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La superposición está bien, pero cometió un error: \ $ I_0 \ $ es un componente de CC, por lo que no puede pasar a través de un capacitor (como usted dice, estamos analizando el estado estable). Por lo tanto, no tiene sentido calcular la impedancia, ya que es evidente que el capacitor no contribuirá a ello (en DC tiene una impedancia infinita, por lo que en paralelo con R es completamente insignificante, si desea usar este POV).

Por lo tanto, \ $ I_0 \ $ pasará solo por R, por eso su libro calcula \ $ v_u '\ $ simplemente como \ $ R I_0 \ $.

Al final, tendrá un componente de CC en \ $ v_u \ $ debido a \ $ I_0 \ $ y un componente sinusoidal con frecuencia \ $ f \ $ debido a \ $ I_s \ $, por lo que su voltaje de salida tendrá esta forma:

\ $ v_u (t) = V_0 + A \ cos (2 \ pi f t + \ phi) \ $

EDIT

(en respuesta a un comentario)

La impedancia de un condensador en el dominio del fasor es

\ $ Z = \ dfrac {1} {j \ omega C} = j \, \ dfrac {-1} {\ omega C} = j X_C \ $

donde \ $ X_C = \ dfrac {-1} {\ omega C} \ $ se denomina reactance del capacitor.

Si desea hacer una comparación con lo que sucede en los circuitos de CC, es decir, con la resistencia, debe tomar el módulo de la impedancia \ $ | Z | \ $, que expresa intuitivamente cuánto se impide el flujo de corriente cuando se intenta Flujo en el condensador.

A se puede ver: PS | Z | = \ dfrac {1} {\ omega C}  \ rightarrow \ infty \ quad \ textrm {as} \ quad \ omega \ rightarrow 0 \ $

Y desde \ $ I = \ dfrac V Z \; \ Rightarrow \; | I | = \ dfrac {| V |} {| Z |} = 0 \ $ cuando \ $ \ omega = 0 \ $

    
respondido por el Lorenzo Donati

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