Frecuencia de muestreo no única

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Dado $$ x [n] = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n \ right) $$ Eso se obtuvo por muestreo. $$ x_c (t) = \ cos (4000 \ pi t) $$

En \ $ T \ $ muestras por segundo, encuentra \ $ T \ $. Es \ $ T \ $ único? ¿Por qué o por qué no?

$$ x [n] = x_c (nT) $$ $$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n \ right) = \ cos (4000 \ pi nT) $$ $$ \ frac {\ pi} {3} n = 4000 \ pi nT $$ $$ T = \ frac {1} {12000} $$

Hasta ahora todo bien. Es \ $ T \ $ único? No, porque cualquiera de estas señales periódicas se puede cambiar de fase en \ $ 2 \ pi \ $ y permanecer esencialmente sin cambios. Por ejemplo,

$$ x [n] = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n + 2 \ pi \ right) $$

EDITAR PARA VER LOS PASOS $$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n + 2 \ pi \ right) $$ Asi que, $$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n + 2 \ pi \ right) = \ cos (4000 \ pi nT) $$ $$ \ frac {\ pi} {3} n + 2 \ pi = 4000 \ pi nT $$ $$ \ frac {1} {3} + 2 = 4000 T $$ $$ T = \ frac {7} {12000} $$ EDICIÓN FINAL

Al usar este nuevo \ $ x [n] \ $, que es equivalente al original, y la misma relación que se definió anteriormente, encontramos que \ $ T = \ frac {7} {12000} \ $. Mientras que la matemática se comprueba (a menos que haya fallado seriamente), intuitivamente esto no tiene sentido para mí.

¿Cómo reducir la frecuencia de muestreo simplemente cambiar la señal de tiempo discreta resultante? Por esta lógica, reducir la frecuencia de muestreo no cambiará la salida, lo que es fundamentalmente incorrecto (¿no es así?)

Debo estar perdiendo algo aquí, ¡por favor, ilumíname!

    
pregunta Kyle G.

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Estás haciendo algo mal con el \ $ 2 \ pi \ $ adicional. Podría estar olvidando que \ $ cos (x + 2 \ pi) = cos (x) \ $. Supongo que lo está dejando e ignorando el orden de las operaciones (paréntesis incorrecto).

$$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n + 2 \ pi \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n \ right) \ require {cancel } $$

Por lo tanto, utilizando sus pasos y agregando el \ $ 2 \ pi \ $.

$$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n \ cancel {+ 2 \ pi} \ right) = \ cos (4000 \ pi nT \ cancel {+ 2 \ pi}) $$ $$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n \ right) = \ cos (4000 \ pi nT) $$ $$ \ frac {\ pi} {3} n = 4000 \ pi nT $$ $$ T = \ frac {1} {12000} $$

Es un error bastante simple, por lo tanto bastante fácil de cometer.

Editar:

  

si cambiamos SÓLO x [n] y no x_c (t), entonces T cambia

$$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n + 2 \ pi \ right) = \ cos (4000 \ pi nT) $$ $$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n \ cancel {+ 2 \ pi} \ right) = \ cos (4000 \ pi nT) $$ $$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n \ right) = \ cos (4000 \ pi nT) $$ $$ \ frac {\ pi} {3} n = 4000 \ pi nT $$ $$ T = \ frac {1} {12000} $$

No , no lo hace.

Edit 2:

  

$$ \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} n + 2 \ pi \ right) = \ cos (4000 \ pi nT) $$   $$ \ frac {\ pi} {3} n + 2 \ pi = 4000 \ pi nT $$

Ok, el problema es que estás ignorando el ángulo de la suma en tu coseno al cancelarlo. La trigonometría no funciona de esa manera. Puede dejar el \ $ 2 \ pi \ $ en, aplicar la identidad adecuada y cancelar el resultado. O simplemente puede tachar cualquier múltiplo de \ $ 2 \ pi \ $ y proceder como ya estaba haciendo.

    
respondido por el Samuel

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