¿Qué causa el ruido periódico con el amplificador LM386?

Agregar un condensador de desacoplamiento de 100uF como se sugiere en los comentarios redujo significativamente el ruido. También descubrí que el ruido era inducido por una MCU que parpadeaba en un led y era alimentada por la misma batería.

CONSEJO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Al solucionar problemas, SIEMPRE comience con las fuentes de alimentación. Con un osciloscopio (no un multímetro), observe el voltaje de la fuente de alimentación en los pines de alimentación del dispositivo bajo prueba (DUT). (En su caso, el DUT sería el IC del amplificador de audio LM386). Es MUY IMPORTANTE que pruebe la tensión en los pines de alimentación del DUT y no en alguna otra ubicación del conjunto del circuito.

  

Además, el circuito se alimenta con una batería de 9 V, lo que elimina la   Fuente de alimentación como sospechoso.

En realidad, su batería de 9 voltios es su principal sospechoso. Esas baterías no son adecuadas para manejar cargas como una placa de desarrollo de microcontroladores, hardware de tarjetas SD y amplificador de audio con un altavoz, etc. Una batería alcalina de 9 voltios tiene una resistencia interna relativamente alta, una capacidad de amperaje por hora (almacenamiento de energía) relativamente baja, y otras limitaciones que lo convierten en una fuente de alimentación no deseada para el sistema que ha descrito.