Capacitancia total para una red de escalera con dos capacitancias

Para cada segmento, tenemos dos condensadores en serie que luego están en paralelo con un tercero, por lo que tenemos una capacidad total de:

$$ C_ {pierna} = C_1 + \ frac {1} {\ frac {1} {C_2} + \ frac {1} {C_1}} $$

Podemos generalizar esto en una fórmula iterativa para cada pierna si asumimos que la pierna consta solo de los dos condensadores, y la última es solo \ $ C_1 \ $:

$$ C_ {pierna} (m + 1) = C_1 + \ frac {1} {\ frac {1} {C_2} + \ frac {1} {C_ {pierna} (m)}} \ quad \ quad \ quad \ mathrm {where} \ quad C_ {leg} (0) = C_1 $$

Luego, puede simplemente iterar la fórmula \ $ n \ $ veces hasta que tenga la capacidad total, es decir, \ $ C_ {total} = C_ {pierna} (n) \ $.

Solo por el gusto de hacerlo, esencialmente terminarás calculando de manera iterativa algo como esto (ejemplo para n = 4):

$$ C_ {total} = C_1 + \ cfrac {1} {\ frac {1} {C_2} + \ cfrac {1} {C_1           + \ cfrac {1} {\ frac {1} {C_2} + \ cfrac {1} {C_1           + \ cfrac {1} {\ frac {1} {C_2} + \ cfrac {1} {C_1 + \ cfrac {1} {\ frac {1} {C_2} + \ frac {1} {C_1}}}} }}}} $$

Como complemento de la respuesta de Tom Carpenter, si tiene una cadena infinita y la serie converge, entonces $$ C_ {pierna} (m + 1) \ rightarrow C_ {pierna} (m) $$ $$ C_ {pierna} = C_1 + \ frac {1} {\ frac {1} {C_2} + \ frac {1} {C_ {pierna}}} $$ $$ \ Rightarrow C_ {pierna} = \ frac {1} {2} (\ sqrt {4 C_1 C_2 + C_1 ^ 2} - C_1) $$

Probablemente hay una forma compacta basada en las funciones de generación de la transformación z. Consulte la pregunta y respuesta de SE en una red de escalera de resistencias relacionada: Closed expresión de formulario para una red de escalera de resistencia .

Consulte también el catálogo de funciones de generación en: enlace

Si escribimos $$ \ begin {pmatrix} U_1 \\ I_1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & Z \\ Y & 1 \ end {pmatrix} ^ n \ begin {pmatrix} U_2 \\ I_2 \ end {pmatrix } $$

con $$ Z = \ frac {1} {2 \ pi jf C_2} $$ y $$ Y = 2 \ pi jf C_1 $$ entonces $$ \ begin {pmatrix} 1 & Z \\ Y & 1 \ end {pmatrix} ^ n = \ frac {1} {2 \ sqrt {YZ}} \ begin {pmatrix} \ sqrt {Z} & - \ sqrt {Z} \\\ sqrt {Y} & \ sqrt {Y} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} (1+ \ sqrt {YZ}) ^ n & 0 \\ 0 & (1- \ sqrt {YZ}) ^ n \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ sqrt {Y} & \ sqrt {Z} \\ - \ sqrt {Y} & \ sqrt {Z} \ end {pmatrix} $$ y ahora tengo un dolor de cabeza por la diagonalización y alguien más debería tomarlo desde allí.