¿Qué sucede con un sistema eléctrico en su polo?

Esta imagen puede ayudar: -

A lo largo de la parte superior de la imagen hay tres ejemplos de diagrama de bode de la respuesta de magnitud para un filtro de paso bajo de segundo orden. Estos son solo ejemplos que muestran cómo la relación de amortiguamiento (\ $ \ zeta \ $) afecta el pico de la respuesta.

La parte inferior izquierda muestra la imagen más completa donde se puede ver la gráfica de bode y la gráfica de polo cero juntas. Finalmente, la parte inferior derecha es el diagrama de polo cero convencional (como se ve desde arriba en el diagrama anterior).

Entonces, si tiene un polo en -1, ese polo existe a lo largo del eje \ $ \ sigma \ $ y se encuentra en una frecuencia donde jw = 0. Debido a que el eje \ $ \ sigma \ $ se refiere a la amortiguación ( Al la \ $ \ zeta \ $ o su inverso Q / 2) cuanto más a la izquierda viaje, más amortiguamiento hay.

  

¿Qué sucede con un sistema eléctrico en su polo?

Muchos sistemas comenzarán a volverse oscilantes a medida que el polo avanza y se alinea con el eje jw. Si el polo avanza más, entonces es casi seguro que un sistema se volverá inestable y oscilará.

  

¿Puede alguien aclarar esto?

Espero que esto ayude o quizás desencadene una pregunta relacionada que debería poder aclarar.

  

Cómo se comportará el sistema cuando s = -1.

En otras palabras, ¿cuál será la salida del sistema cuando la entrada sea \ $ e ^ {- t} \ $?

Por lo general, pensamos en la función de transferencia de dominio \ $ s \ $ como

$$ H (s) = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$

donde \ $ Y (s) \ $ y \ $ X (s) \ $ son las transformadas de Laplace de las señales de salida y entrada respectivamente.

Pero, también es cierto que si \ $ x (t) = e ^ {st} \ $, entonces \ $ y (t) = H (s) e ^ {st} \ $. Esto puede no ser obvio, así que aquí hay una demostración rápida. Considere la ecuación diferencial del filtro de paso bajo RC canónico:

$$ \ dot {y} (t) + \ frac {1} {RC} y (t) = \ frac {1} {RC} x (t) $$

Deje \ $ x (t) = e ^ {st} \ $ y luego suponga que \ $ y (t) = Ae ^ {st} \ $ (donde \ $ A \ $ es una constante compleja) de manera que

$$ \ dot {y} (t) = sAe ^ {st} = sy (t) $$

y luego la ecuación diferencial se convierte en

$$ \ left (s + \ frac {1} {RC} \ right) y (t) = \ frac {1} {RC} e ^ {st} $$

Resolviendo para \ $ y (t) \ $ rendimientos

$$ \ Rightarrow y (t) = \ frac {1} {1 + sRC} e ^ {st} = H (s) e ^ {st} $$

Esto es válido para todos \ $ s \ $ excepto para el polo \ $ s_o = - \ frac {1} {RC} \ $. Dado que el denominador explota, debemos volver a la ecuación diferencial y ver qué sucede. Para \ $ s = - \ frac {1} {RC} \ $, intente en su lugar \ $ y (t) = Ate ^ {- t / RC} \ $ tal que

$$ \ dot {y} (t) = Ae ^ {- t / RC} - \ frac {1} {RC} Ate ^ {- t / RC} = \ left (\ frac {1} {t } - \ frac {1} {RC} \ derecha) y (t) $$

y luego la ecuación diferencial se convierte en

$$ \ left (\ frac {1} {t} - \ frac {1} {RC} + \ frac {1} {RC} \ right) Ate ^ {- t / RC} = Ae ^ {- t / RC} = \ frac {1} {RC} x (t) = \ frac {1} {RC} e ^ {- t / RC} $$

Por lo tanto, \ $ A = \ frac {1} {RC} \ $ y así

$$ y (t) = \ frac {t} {RC} e ^ {- t / RC} $$

que es de forma diferente a la entrada (debido a la multiplicación por \ $ t \ $). Además, aunque la salida va a cero a medida que \ $ t \ rightarrow \ infty \ $, la relación de la salida a la entrada va al infinito como deberíamos esperar ya que \ $ H \ left (- \ frac {1} {RC} \ derecha) \ $ es 'infinito' (no definido en realidad).

Nota: no podemos tener en la entrada \ $ x (t) = e ^ {- t / RC} \ $ (es ilimitado en el pasado) pero una \ $ x (t) = u (t ) e ^ {- t / RC} \ $ es una señal de entrada limitada. Dejaré la respuesta del sistema a esa entrada como un ejercicio.

El gráfico de transformación H sería un conjunto de dos gráficos de contorno 3D, uno para el módulo de H y otro para su ángulo.

Como recordará, la respuesta permanente de un sistema se representa mediante la gráfica de H sobre el eje y, es decir, s = j.w.

El módulo de H es ciertamente infinito para s = -1, pero ese punto no está en el módulo de la gráfica H que generalmente se analiza, que es un gráfico para s = j.w.