Analizando un paso de banda sallen key filter

Puede usar el análisis nodal modificado para resolver todos los voltajes de nodo desconocidos y las corrientes desconocidas. Una vez que obtenga el voltaje del nodo, puede encontrar la función de transferencia. Para el análisis, denoto nodo y actual como en la imagen a continuación.

AhorapuedeescribirKCLparacadanodoyunarestriccióndeOpAmp.

Puedesobtener7ecuaciones:

Luegopuedesresolver7ecuacionesparaobtenertodoslosvoltajesdesconocidosycorrientesdesconocidas.Finalmente,lafuncióndetransferenciaessoloV5/V1.

Consejos generales (no solo funciona para esta configuración particular):

Realice los siguientes pasos en \ $ s \ $ - dominio:

• configure la ecuación vor \ $ v _ + \ $ (entrada pos. de OpAmp) como expresión de \ $ v_ {in} \ $ y \ $ v_ {out} \ $.
• configure la ecuación vor \ $ v _- \ $ (entrada negativa de OpAmp) como expresión de \ $ v_ {out} \ $.
• resuelva la ecuación \ $ v_ + = v _- \ $ para \ $ v_ {out} \ $ (por ejemplo, mediante análisis nodal o mediante transformaciones de red)
• conecte la expresión resultante en la definición de \ $ H (s) \ $:
  \ $ H (s) = \ frac {v_ {out}} {v_ {in}} \ $
  La expresión resultante no contendrá \ $ v_ {in} \ $ (o \ $ v_ {out} \ $ o \ $ v_ {aux} \ $), pero será solo una expresión de los parámetros \ $ R_1 \ $, \ $ R_2 \ $, \ $ R_f \ $, .., \ $ C_1 \ $, .. y la variable independiente \ $ s \ $.

Puedes usar herramientas de matemáticas simbólicas, por ejemplo, Paquete sympy para Python, Maple, Mathematica ...

Aquí hay una secuencia de comandos de python que hace el álgebra (usando sympy ); aunque no estoy seguro si es correcto:

# deriving the transfer function of a Sallen-Key band pass filter

from sympy import Symbol, symbols, solve, collect

s = Symbol('s')

def Xc(C): global s; return 1 / (s * C)

Vin, Vout, Vaux = symbols('Vin Vout Vaux')
R1, R2, C1, C2, Rf, Ra, Rb = symbols('R1 R2 C1 C2 Rf Ra Rb')
X1, X2 = Xc(C1), Xc(C2)

# get expression for Vaux by solving KCL in node_aux:
Vaux_expression = solve(    (Vin  - Vaux) / R1 
                          + (Vout - Vaux) / Rf 
                                  - Vaux  / X1 
                                  - Vaux  / (X2 + R2), 
                        Vaux)[0]

Vpos = Vaux_expression * R2 / (X2 + R2) # voltage at pos. input of OpAmp
Vneg = Vout * Ra / (Ra + Rb)            # voltage at neg. input of OpAmp

# get expression for Vout by solving equation Vneg = Vpos for Vout
Vout_expression = solve(Vpos - Vneg, Vout)[0]

# get transfer function H(s) by defining formula:
H = Vout_expression / Vin
H = collect(H, s)
print H

Resultado: C2*R2*Rf*s*(Ra + Rb)/(C1*C2*R1*R2*Ra*Rf*s**2 + R1*Ra + Ra*Rf + s*(C1*R1*Ra*Rf - C2*R1*R2*Rb + C2*R1*Ra*Rf + C2*R2*Ra*Rf))

Este filtro se puede analizar utilizando las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACTs . El principio es determinar las constantes de tiempo del circuito en dos configuraciones diferentes: cuando la excitación se reduce a 0 V y con una salida anulada cuando la excitación está de vuelta.

Reducir la excitación a 0 V, significa reemplazar la fuente de entrada \ $ V_ {in} \ $ por un cortocircuito. Luego, "observe" la resistencia \ $ R \ $ ofrecida por los elementos de almacenamiento de energía (las mayúsculas) para formar constantes de tiempo, \ $ \ tau_1 = RC_1 \ $ y \ $ \ tau_2 = RC_2 \ $. Los siguientes dibujos ilustran este principio:

Usandoestosdosdibujos,determinaslassiguientesconstantesdetiempo:

\$\tau_1=C_1(R_1||R_f)\$

\$\tau_2=C_2(\frac{k_1(R_1R_2+R_1R_f+R_2R_f)-R_1R_2}{k_1(R_1+R_f)})\$

\$b_1=\tau_1+\tau_2\$

Luego,estableceelcondensador1ensuestadodealtafrecuencia(uncortocircuito)ydeterminalaresistencia\$R\$almirarlasterminalesde\$C_2\$':

Tienes\$\tau_{12}=C_2R_2\$y\$b_2=\tau_1\tau_{12}\$

Finalmente,determinalaganancia\$H^2\$cuandoelcondensador\$C_2\$esuncortocircuito:

Lafuncióndetransferenciacompletasedeterminadeacuerdoa\$H(s)=\frac{sH^2\tau_2}{1+sb_1+s^2b_2}\$

Sinembargo,inclusosiestaexpresiónesmatemáticamentecorrecta,tieneunavisiónnuladelagananciademeseta\$H_{MB}\$ylafrecuenciadesintonizaciónquesonrealmentelosobjetivosdediseño.Debevolveratrabajarlafórmuladeacuerdoconelsiguienteformatodebajaentropía:\$H(s)=H_{MB}\frac{1}{1+(\frac{\omega_0}{s}+\frac{s}{\omega_0})Q}\$.EstoesloquemuestranlassiguienteshojasdeMathcadycomparanlasdiferentesrespuestas:

Por lo tanto, el punto no es solo escribir una función de transferencia que vincule \ $ V_ {out} \ $ a \ $ V_ {in} \ $ sino que más reorganice el resultado en una forma significativa de la que obtiene información y puede diseñar para un cierto objetivo en la frecuencia de sintonización y el factor de calidad: esto es todo de lo que se trata FACTs.