La respuesta más breve es covarianza relativista . El potencial eléctrico escalar y el el potencial magnético vectorial son los componentes de un cuatro vectores : el four-potential .
Los campos eléctrico y magnético son componentes de un cuatro tensor: el Tensor de Faraday .
Esto es para que los campos eléctrico y magnético se transformen correctamente bajo una transformación de Lorentz .
Curiosamente, cuando se piensa en términos de espacio-tiempo y cuatro vectores, el four-force en una partícula es (Minkowski) ortogonal de la partícula cuatro velocidades .
En pocas palabras, la velocidad de cuatro de una partícula tiene una longitud constante y, por lo tanto, la four-acceleration debe ser ( Minkowski) ortogonal, es decir, la aceleración solo puede cambiar la dirección de la velocidad de cuatro, no la longitud.
La Lorentz force , expresada en notación de cuatro vectores es
$$ \ frac {dp _ {\ alpha}} {d \ tau} = qF _ {\ alpha \ beta} u ^ {\ beta} $$
El lado izquierdo es la fuerza de cuatro, el lado derecho es el producto de la carga de la partícula con la contracción del tensor de Faraday y la velocidad de cuatro.
Para una partícula en reposo, la cuatro velocidades apunta en la dirección del tiempo y es directa para mostrar que la cuatro fuerzas se debe al campo eléctrico y los puntos en una dirección del espacio, es decir, la cuatro fuerzas debida a El campo eléctrico es ortogonal a la cuatro velocidades de la partícula.
Por lo tanto, vemos que, en el contexto relativista de cuatro vectores, ambos las fuerzas eléctricas y magnéticas son ortogonales a la velocidad de cuatro partículas.
Para resumir, comenzando con el cuatro potencial manifiestamente covariante y su derivada exterior, el tensor de Faraday y la ley de fuerza de Lorentz, encontramos que la expresión 3D + 1 para la fuerza de Lorentz es
$$ \ frac {d \ vec p} {dt} = q (\ vec E + \ vec v \ times \ vec B) $$
$$ \ frac {dE} {dt} = q \ vec v \ cdot \ vec E $$
donde \ $ E \ $ es la energía de la partícula.