Lo importante es reescribir su ecuación original en una forma bien ordenada, siguiendo un formato de baja entropía , esta es la clave para revelar los diversos factores de calidad \ $ Q \ $ y la resonancia frecuencias \ $ \ omega_0 \ $. Una forma polinomial de segundo orden obedece a la siguiente expresión cuando los términos \ $ a_0 \ $ y \ $ b_0 \ $ son diferentes de 0 y se consideran como un término principal:
\ $ H (s) = H_0 \ frac {1+ \ frac {s} {Q_N \ omega_ {0N}} + \ left (\ frac {s} {\ omega_ {0N}} \ right) ^ 2 } {1+ \ frac {s} {Q_D \ omega_ {0D}} + \ left (\ frac {s} {\ omega_ {0D}} \ right) ^ 2} \ $ en el que \ $ H_0 = \ frac { a_0} {b_0} \ $, \ $ Q_D = \ frac {\ sqrt {b_2}} {b_1} \ $ y \ $ \ omega_ {0D} = \ frac {1} {\ sqrt {b_2}} \ $. Sustituya los términos \ $ a_1 \ $ y \ $ a_2 \ $ por el factor de calidad del numerador y la frecuencia de resonancia.
Ahora su expresión es \ $ \ frac {s ^ 2 + 0.02s + 1001} {(s ^ 2 + 2s + 101) (s ^ 2 + 20s + 10100)} \ $. Sin embargo, de la gráfica de Bode, tiene una ganancia dc de -120 dB, un doble cero en el numerador que crea una muesca en la frecuencia resonante de 1 rad / s, seguido de 4 polos resonantes ubicados a 10 y 100 rad / s . Comience por factorizar 1001 en el numerador \ $ N (s) \ $. Debe encontrar \ $ N (s) = 1001 (1+ \ frac {0.02} {1001} s + \ left (\ frac {s} {1001} \ right) ^ 2) \ $. Ahora proceda con el denominador \ $ D (s) \ $ factorizando 101 y 10100. Debe obtener: \ $ D (s) = 101 \ times10100 (1+ \ frac {0.02} {101} s + (\ frac {s } {101}) ^ 2) (1+ \ frac {20} {10100} s + (\ frac {s} {10100}) ^ 2) \ $
De estas expresiones, debe extraer la ganancia de CD \ $ H_0 = \ frac {1001} {101 \ times10100} = 981 \ times10 ^ {- 6} \ $ o -60 dB. Por lo tanto, ya ve que este valor no coincide con la ganancia de CC de la gráfica de Bode. Parece que falta una atenuación de 60 dB. Determine el \ $ Q \ $ s y las frecuencias resonantes con las fórmulas dadas y luego trace el resultado para ver cómo coincide con su gráfico:
Luegodibujalasformaspolinomialesylaexpresiónenbruto:
Comoseesperaba,lagananciadeCCestámal,lamuescaestámalcolocadaperolospolosparecenestarbien(eleje\$x\$-enHzynoenrad/s).Entonces,aprimeravista,parecequeelproblemaestáenelnumerador,mientrasqueeldenominadorsevebien.Teniendoencuentalaatenuaciónfaltantede60dB(unarelaciónde1000),heactualizadolagananciadeCCa\$H_0=\frac{1.001}{101\times10100}=9.8\times10^{-7}\$quees-120dB.Ahorapuedodividirtodoslostérminosenelnumeradorpor1001ytrazarlanuevagráficadeBoderesultante:
Laescalahorizontalahoraestáenrad/syelresultadofinalnosevemal:)
Acontinuación,seproporcionalaexpresióncorrectadealtaentropía,tengaencuentalasdimensionescorrectasdelosdiversoscoeficientesparamantenerunafuncióndetransferenciasinunidades:
Tieneslosvaloresdelasdiversas\$Q\$sylasfrecuenciasresonantesenlosdisparosdeMathcad.Larelacióndeamortiguamiento\$\zeta\$y\$Q\$estánvinculadaspor\$\zeta=\frac{1}{2Q}\$.Aprenderámássobreexpresionesdebajaentropíaytécnicasdecircuitosanalíticosrápidos(FACT) aquí .
Elmanualdelasolucióndicequelafuncióntrazadaes$$\frac{s^2+0.02s+1001}{s^2+2s+101)(s^2+20s+10100)}$$LoqueséeseldiagramadeBodepara$$\frac{s^2+2ζω_ns+ω_n^2}{ω_n^2}$$yelinversodeeso.
