Me pregunto por qué bajo el supuesto de que \ $ \ omega \ gg \ frac {1} {T} \ $ luego \ $ \ int_ {0} ^ {T} \ sin (\ omega t) dt \ approx 0 \ $ ?
Dado que la integral debe ser como \ $ \ frac {\ cos (\ omega t)} {w} \ $ desde \ $ 0 \ $ a \ $ T \ $ y después de agregar el valor, terminaremos con:
$$ \ frac {- \ cos (\ omega T) +1} {\ omega} $$
Si está hablando de telecomunicaciones, supongo que estamos hablando de altas frecuencias. Si ese es el caso:
\ $ - \ cos (\ omega T) +1 \ $ varía de \ $ 0 \ $ a \ $ + 2 \ $, si lo divide por un número grande, obtendrá aproximadamente cero.
Para darle una idea: para una frecuencia en torno a \ $ 1 \; \ text {kHz} \ $ (que se considera "ultra bajo" ), el resultado será MÁXIMO \ $ 0.002 \ $.
Al aumentar la frecuencia, estamos poniendo más períodos de oscilación en el intervalo de integración.
Dado que la integral de un seno en un período es cero, solo debemos considerar el período "incompleto" al final del intervalo de integración.
Cuando aumentamos la frecuencia, el área de este período incompleto se vuelve más y más delgada (explicando el \ $ \ omega \ $ en el determinador).
Si inserto algunos valores, obtengo lo siguiente:
\ $ T = 1 \ $
\ $ \ omega \ rightarrow \ $ result
\ $ 10 ^ 0 \ rightarrow 0.460 \ $
\ $ 10 ^ 1 \ rightarrow 0.184 \ $
\ $ 10 ^ 2 \ rightarrow 0.001 \ $
\ $ 10 ^ 3 \ rightarrow 4.376E-04 \ $
\ $ 10 ^ 4 \ rightarrow 1.952E-04 \ $
\ $ 10 ^ 5 \ rightarrow 1.999E-05 \ $
\ $ 10 ^ 6 \ rightarrow 6.325E-08 \ $
Ahora no estoy seguro de qué orden de magnitud \ $ > > \ $ significa y qué tan pequeño debe ser el resultado para ser considerado \ $ \ approx 0 \ $, pero tiende a obtener cero si es mucho más grande.
¿Cuáles son los valores típicos de \ $ \ omega \ $ y T que está viendo?
Actualización (debido a los comentarios):
Como FMarazzi ha explicado bastante bien, hay un límite superior para el caso de que \ $ \ cos (\ omega T) \ $ es -1, por lo que tendrá \ $ \ frac {2} {\ omega} \ $, que es el máximo absoluto que obtendrás por cualquier T.
Entonces, si elige el valor para T, de una manera que obtiene el máximo para un \ $ \ omega \ $ dado, la tabla se convierte en:
\ $ \ omega \ rightarrow \ $ valor máximo posible
\ $ 10 ^ 0 \ rightarrow 2 \ $
\ $ 10 ^ 1 \ rightarrow 0.2 \ $
\ $ 10 ^ 2 \ rightarrow 0.02 \ $
\ $ 10 ^ 3 \ rightarrow 2E-03 \ $
\ $ 10 ^ 4 \ rightarrow 2E-04 \ $
\ $ 10 ^ 5 \ rightarrow 2E-05 \ $
\ $ 10 ^ 6 \ rightarrow 2E-06 \ $
Y así sucesivamente. No sé en qué contexto se usa la aproximación, pero como lo señalan los comentarios, es para sistemas de comunicación, y supongo que no se trata de algo de UART a 9600 baudios sino algo como Ethernet o cosas más rápidas, así que \ $ \ omega \ $ está en el orden de \ $ 10 ^ 7 \ $ o superior, para lo cual el resultado de la integral es pequeño y probablemente no contribuya a los otros términos de interés.
En la ecuación, como está escrito, un \ $ \ omega \ $ más grande resultará en promedio en un valor más pequeño de la integral, pero un \ $ T \ $ más grande no.
Sospecho que se necesita más contexto para comprender adecuadamente lo que significa.
En particular, debemos pensar qué queremos decir exactamente con "\ $ \ approx 0 \ $". "\ $ \ approx 0 \ $" probablemente debería interpretarse como "despreciable", pero lo que significa "despreciable" es altamente dependiente del contexto. Si hay algún valor relacionado que aumenta con los valores crecientes de \ $ T \ $, entonces puede ser que el resultado de la integral cuando grande \ $ T \ $ sea grande pero \ $ \ omega \ $ sea pequeño aún pueda considerarse insignificante .
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